Упр.44.47 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
Постройте эскиз графика функции $$y=f(x)$$, $$x\in\mathbb{R}$$, по графику производной, изображённому на заданном рисунке: а) рис. 127; б) рис. 128; в) рис. 129; г) рис. 130.
Эскиз графика функции $$y=f(x)$$ строим по графику производной $$y=f'(x)$$, учитывая:
- если $$f'(x)>0$$, то функция $$f(x)$$ возрастает;
- если $$f'(x)<0$$, то функция $$f(x)$$ убывает;
- в точках, где $$f'(x)=0$$ и знак производной меняется, у функции $$f(x)$$ есть экстремум.
На рисунке а) производная положительна при $$x<a$$, затем отрицательна на промежутке $$a<x<b$$, снова отрицательна до точки $$b$$, после чего становится положительной.
Значит, график $$f(x)$$:
- возрастает при $$x<a$$;
- убывает при $$a<x<b$$;
- имеет минимум в точке $$x=b$$;
- возрастает при $$x>b$$.
На рисунке б) производная всюду отрицательна, а в точках $$a$$, $$b$$, $$c$$, $$d$$ лишь меняет наклон, не меняя знак.
Следовательно, функция $$f(x)$$ монотонно убывает на всей области определения, а экстремумов не имеет.
На рисунке в) производная сначала отрицательна, затем в точке $$b$$ становится положительной, а в точке $$d$$ снова меняет знак с положительного на отрицательный.
Значит, график $$f(x)$$:
- убывает при $$x<b$$;
- имеет минимум в точке $$x=b$$;
- возрастает при $$b<x<d$$;
- имеет максимум в точке $$x=d$$;
- убывает при $$x>d$$.
На рисунке г) производная положительна при $$x<c$$, затем отрицательна на промежутке $$c<x<d$$ и снова положительна при $$x>d$$.
Следовательно, функция $$f(x)$$:
- возрастает при $$x<c$$;
- имеет максимум в точке $$x=c$$;
- убывает при $$c<x<d$$;
- имеет минимум в точке $$x=d$$;
- возрастает при $$x>d$$.
Ответ: эскизы графиков $$y=f(x)$$ должны иметь указанные промежутки возрастания и убывания, а также экстремумы в точках смены знака производной: а) минимум при $$x=b$$; б) экстремумов нет; в) минимум при $$x=b$$, максимум при $$x=d$$; г) максимум при $$x=c$$, минимум при $$x=d$$.
