Упр.44.31 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

При каких значениях параметра $$a$$ функция возрастает на всей числовой прямой:

а) $$y=x^3+ax$$;

б) $$y=\frac{x^3}{3}-ax^2+5x-3$$?

Подробный ответ

а) $$y=x^3+ax.$$

Найдём производную:

$$y’=(x^3)’+(ax)’=3x^2+a.$$

Чтобы функция возрастала на всей числовой прямой, нужно, чтобы $$y’\ge 0$$ при всех $$x\in\mathbb{R}$$.

Так как $$3x^2\ge 0$$ для всех $$x$$, наименьшее значение выражения $$3x^2+a$$ достигается при $$x=0$$ и равно $$a$$. Значит,

$$a\ge 0.$$

б) $$y=\frac{x^3}{3}-ax^2+5x-3.$$

Найдём производную:

$$y’=\left(\frac{x^3}{3}\right)’-(ax^2)’+(5x-3)’=x^2-2ax+5.$$

Для возрастания на всей числовой прямой нужно, чтобы

$$x^2-2ax+5\ge 0$$

при всех $$x\in\mathbb{R}$$.

Это квадратный трёхчлен с положительным старшим коэффициентом. Он неотрицателен при всех $$x$$ тогда и только тогда, когда его дискриминант не положителен:

$$D=(-2a)^2-4\cdot 1\cdot 5=4a^2-20\le 0.$$

Отсюда

$$a^2\le 5,$$

то есть

$$-\sqrt5\le a\le \sqrt5.$$