Упр.44.21 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Определите промежутки монотонности функции:
а) $$y=\frac{3x-1}{3x+1}$$
б) $$y=\frac{1-2x}{3+2x}$$

Найдём производные и определим их знак.

а)

$$y=\frac{3x-1}{3x+1}$$

$$y’=\frac{(3x-1)'(3x+1)-(3x-1)(3x+1)’}{(3x+1)^2} =\frac{3(3x+1)-3(3x-1)}{(3x+1)^2} =\frac{6}{(3x+1)^2}.$$

Так как $$\,(3x+1)^2>0\,$$ при всех $$x\neq -\frac13,$$ то $$y’>0$$ на области определения функции.

Следовательно, функция возрастает на промежутках

$$(-\infty;-\tfrac13)\cup(-\tfrac13;+\infty).$$

б)

$$y=\frac{1-2x}{3+2x}$$

$$y’=\frac{(1-2x)'(3+2x)-(1-2x)(3+2x)’}{(3+2x)^2} =\frac{-2(3+2x)-2(1-2x)}{(3+2x)^2} =\frac{-8}{(3+2x)^2}.$$

Так как $$\,(3+2x)^2>0\,$$ при всех $$x\neq -\frac32,$$ то $$y'<0$$ на области определения функции.

Следовательно, функция убывает на промежутках

$$(-\infty;-\tfrac32)\cup(-\tfrac32;+\infty).$$

Ответ

а) возрастает на $$(-\infty;-\frac13)\cup(-\frac13;+\infty)$$; б) убывает на $$(-\infty;-\frac32)\cup(-\frac32;+\infty)$$.