Упр.43.59 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. а) К графику функции $$y=2\sin^2 x+\sqrt{3}\sin 2x$$, $$x\in\left[0;\frac{\pi}{2}\right]$$, проведена касательная, параллельная прямой $$y-4x-1=0$$. Найдите ординату точки касания. б) К графику функции $$y=2\cos^2 x+\sqrt{3}\sin 2x$$, $$x\in\left[\frac{\pi}{2};\pi\right]$$, проведена касательная, параллельная прямой $$3y-6x+2=0$$. Найдите ординату точки касания.

а) $$f(x)=2\sin^2 x+\sqrt3\sin 2x,\quad x\in\left[0;\frac{\pi}{2}\right].$$

Найдём производную:

$$f'(x)=4\sin x\cos x+2\sqrt3\cos 2x.$$

Касательная параллельна прямой $$y-4x-1=0,$$ значит её угловой коэффициент равен $$4.$$ Тогда

$$4\sin x\cos x+2\sqrt3\cos 2x=4.$$

Преобразуем:

$$2\sin x\cos x+\sqrt3(\cos^2 x-\sin^2 x)=2(\sin^2 x+\cos^2 x),$$

$$\left(2+\sqrt3\right)\cos^2 x-2\sin x\cos x-\left(2-\sqrt3\right)\sin^2 x=0.$$

Удобнее записать через $$\tg x$$:

$$4\sin x\cos x+2\sqrt3\cos 2x=4$$

$$2\sin x\cos x+\sqrt3(\cos^2 x-\sin^2 x)=2$$

$$\left(2+\sqrt3\right)\tg^2 x-2\tg x+\left(2-\sqrt3\right)=0.$$

Отсюда

$$\tg x=2-\sqrt3.$$

На отрезке $$\left[0;\frac{\pi}{2}\right]$$ это даёт

$$x=\frac{\pi}{12}.$$

Найдём ординату точки касания:

$$f\left(\frac{\pi}{12}\right)=2\sin^2\frac{\pi}{12}+\sqrt3\sin\frac{\pi}{6}.$$

Так как

$$\sin\frac{\pi}{12}=\frac{\sqrt6-\sqrt2}{4},\qquad \sin\frac{\pi}{6}=\frac12,$$

то

$$f\left(\frac{\pi}{12}\right)=1.$$

б) $$f(x)=2\cos^2 x+\sqrt3\sin 2x,\quad x\in\left[\frac{\pi}{2};\pi\right].$$

Найдём производную:

$$f'(x)=-4\sin x\cos x+2\sqrt3\cos 2x.$$

Касательная параллельна прямой $$3y-6x+2=0,$$ значит её угловой коэффициент равен $$2.$$ Тогда

$$-4\sin x\cos x+2\sqrt3\cos 2x=2.$$

Преобразуем:

$$-2\sin x\cos x+\sqrt3(\cos^2 x-\sin^2 x)=1.$$

Или

$$\left(\sqrt3-2\tg x\right)\cos^2 x-\left(\sqrt3+\dots\right)$$

Проще воспользоваться формулой:

$$-4\sin x\cos x+2\sqrt3\cos 2x=4\cos\left(\frac{\pi}{6}+2x\right).$$

Тогда

$$4\cos\left(\frac{\pi}{6}+2x\right)=2,$$

$$\cos\left(\frac{\pi}{6}+2x\right)=\frac12.$$

Следовательно,

$$\frac{\pi}{6}+2x=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi n.$$

Из условия $$x\in\left[\frac{\pi}{2};\pi\right]$$ подходит

$$x=\frac{3\pi}{4}.$$

Тогда ордината точки касания:

$$f\left(\frac{3\pi}{4}\right)=2\cos^2\frac{3\pi}{4}+\sqrt3\sin\frac{3\pi}{2}=2\cdot\frac12-\sqrt3=1-\sqrt3.$$

Ответ: а) $$1$$; б) $$1-\sqrt3$$.