Упр.43.54 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
а) Найдите точку пересечения касательных к графику функции $$y=x^2-\lvert 2x-6\rvert$$, проведённых через точки с абсциссами $$x=5$$, $$x=-5$$.
б) Найдите точку пересечения касательных к графику функции $$y=x^3+\lvert x-1\rvert$$, проведённых через точки с абсциссами $$x=2$$, $$x=-2$$.
а) Рассмотрим функцию $$y=x^2-|2x-6|.$$
Так как $$2x-6\ge 0$$ при $$x\ge 3,$$ то
$$y=\begin{cases}x^2-2x+6, & x\ge 3,\\ x^2+2x-6, & x<3.\end{cases}$$
Точка с абсциссой $$x=-5$$ лежит на ветви $$y=x^2+2x-6,$$ поэтому
$$y(-5)=25-10-6=9,$$
$$y’ = 2x+2,\qquad y'(-5)=-10+2=-8.$$
Уравнение касательной:
$$y-9=-8(x+5),$$
откуда
$$y=-8x-31.$$
Точка с абсциссой $$x=5$$ лежит на ветви $$y=x^2-2x+6,$$ поэтому
$$y(5)=25-10+6=21,$$
$$y’ = 2x-2,\qquad y'(5)=10-2=8.$$
Уравнение касательной:
$$y-21=8(x-5),$$
откуда
$$y=8x-19.$$
Найдём точку пересечения касательных:
$$8x-19=-8x-31,$$
$$16x=-12,\qquad x=-\frac34.$$
Тогда
$$y=8\cdot\left(-\frac34\right)-19=-6-19=-25.$$
Итак, точка пересечения касательных: $$\left(-\frac34;\,-25\right).$$
б) Рассмотрим функцию $$y=x^3+|x-1|.$$
Если $$x\ge 1,$$ то $$|x-1|=x-1,$$ значит
$$y=x^3+x-1,\qquad y’=3x^2+1.$$
При $$x=2$$ получаем
$$y(2)=8+2-1=9,\qquad y'(2)=3\cdot 2^2+1=13.$$
Уравнение касательной:
$$y-9=13(x-2),$$
откуда
$$y=13x-17.$$
Если $$x<1,$$ то $$|x-1|=1-x,$$ значит
$$y=x^3-x+1,\qquad y’=3x^2-1.$$
При $$x=-2$$ получаем
$$y(-2)=-8+2+1=-5,\qquad y'(-2)=3\cdot(-2)^2-1=11.$$
Уравнение касательной:
$$y+5=11(x+2),$$
откуда
$$y=11x+17.$$
Найдём точку пересечения касательных:
$$13x-17=11x+17,$$
$$2x=34,\qquad x=17.$$
Тогда
$$y=13\cdot 17-17=204.$$
Следовательно, точка пересечения касательных: $$\left(17;\,204\right).$$
Ответ
а) $$\left(-\frac34;\,-25\right);$$ б) $$\left(17;\,204\right).$$
