Упр.43.45 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
- Проведите касательную к графику функции $$y=x^2+1$$, проходящую через точку $$A$$, не принадлежащую этому графику, если: а) $$A(-1;-2)$$; б) $$A(0;0)$$; в) $$A(0;-3)$$; г) $$A(-1;1)$$.
Пусть точка касания имеет абсциссу $$x_0=a.$$ Тогда для функции $$y=x^2+1$$ имеем $$y'(x)=2x,$$ значит угловой коэффициент касательной в точке касания равен $$2a.$$
Уравнение касательной:
$$y=(a^2+1)+2a(x-a)=1+2ax-a^2.$$
а) $$A(-1;-2)$$
Подставим координаты точки в уравнение касательной:
$$-2=1+2a(-1)-a^2,$$
$$a^2+2a-3=0.$$
$$D=2^2+4\cdot 3=16,$$
$$a_1=\frac{-2-4}{2}=-3,\qquad a_2=\frac{-2+4}{2}=1.$$
Тогда касательные:
при $$a=-3$$
$$y=1+2(-3)x-(-3)^2=-6x-8,$$
при $$a=1$$
$$y=1+2x-1=2x.$$
б) $$A(0;0)$$
$$0=1-a^2,$$
$$a^2=1,\qquad a=\pm 1.$$
Тогда:
при $$a=-1$$
$$y=1+2(-1)x-(-1)^2=-2x,$$
при $$a=1$$
$$y=1+2x-1=2x.$$
в) $$A(0;-3)$$
$$-3=1-a^2,$$
$$a^2=4,\qquad a=\pm 2.$$
Тогда:
при $$a=-2$$
$$y=1+2(-2)x-(-2)^2=-4x-3,$$
при $$a=2$$
$$y=1+4x-4=4x-3.$$
г) $$A(-1;1)$$
$$1=1+2a(-1)-a^2,$$
$$a^2+2a=0,$$
$$a(a+2)=0,\qquad a=0 \text{ или } a=-2.$$
Тогда:
при $$a=0$$
$$y=1+0=1,$$
при $$a=-2$$
$$y=1+2(-2)x-(-2)^2=-4x-3.$$
Ответ: а) $$y=-6x-8,$$ $$y=2x;$$ б) $$y=-2x,$$ $$y=2x;$$ в) $$y=-4x-3,$$ $$y=4x-3;$$ г) $$y=1,$$ $$y=-4x-3.$$
