Упр.43.30 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Напишите уравнения касательных к параболе: а) $$y=x^2-3x$$ в точках с ординатой $$4$$; б) $$y=-x^2+5x$$ в точках с ординатой $$6$$.

Уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой $$a$$ имеет вид

$$y=f(a)+f'(a)(x-a).$$

а)

$$y=x^2-3x.$$

Найдём производную:

$$f'(x)=2x-3.$$

Точки параболы с ординатой $$4$$ найдём из уравнения

$$x^2-3x=4,$$

$$x^2-3x-4=0,$$

$$D=9+16=25,$$

$$x_1=\frac{3-5}{2}=-1,\qquad x_2=\frac{3+5}{2}=4.$$

Для $$a=-1$$:

$$f(-1)=4,\qquad f'(-1)=2\cdot(-1)-3=-5,$$

$$y=4-5(x+1)=-5x-1.$$

Для $$a=4$$:

$$f(4)=4,\qquad f'(4)=2\cdot4-3=5,$$

$$y=4+5(x-4)=5x-16.$$

б)

$$y=-x^2+5x.$$

Найдём производную:

$$f'(x)=-2x+5.$$

Точки параболы с ординатой $$6$$ найдём из уравнения

$$-x^2+5x=6,$$

$$x^2-5x+6=0,$$

$$D=25-24=1,$$

$$x_1=\frac{5-1}{2}=2,\qquad x_2=\frac{5+1}{2}=3.$$

Для $$a=2$$:

$$f(2)=6,\qquad f'(2)=-2\cdot2+5=1,$$

$$y=6+(x-2)=x+4.$$

Для $$a=3$$:

$$f(3)=6,\qquad f'(3)=-2\cdot3+5=-1,$$

$$y=6-(x-3)=9-x.$$

Ответ: а) $$y=-5x-1,$$ $$y=5x-16;$$ б) $$y=x+4,$$ $$y=9-x.$$