Упр.43.28 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. а) $$f(x)=\begin{cases}x^2+2x, & \text{если } x\geqslant -3,\\-2x-3, & \text{если } x<-3,\end{cases}\quad a=-2$$;
   б) $$f(x)=\lvert x^2-3x\rvert,\quad a=4$$;
   в) $$f(x)=\begin{cases}4x-x^2, & \text{если } x\geqslant 0,\\-4x, & \text{если } x<0,\end{cases}\quad a=1$$;
   г) $$f(x)=x^2-7\lvert x\rvert+10,\quad a=-1$$.

Уравнение касательной имеет вид $$y=f(a)+f'(a)(x-a),$$ где $$a$$ — абсцисса точки касания.

а) $$f(x)=\begin{cases}x^2+2x, & x\ge -3,\\ -2x-3, & x<-3,\end{cases}\qquad a=-2.$$

Так как $$-2\ge -3,$$ то используем ветвь $$f(x)=x^2+2x.$$ Тогда

$$f(-2)=(-2)^2+2\cdot(-2)=4-4=0,$$

$$f'(x)=2x+2,\qquad f'(-2)=2\cdot(-2)+2=-2.$$

Следовательно,

$$y=0+(-2)(x+2)=-2x-4.$$

б) $$f(x)=|x^2-3x|,\qquad a=4.$$

При $$x=4$$ имеем $$x^2-3x=16-12=4>0,$$ значит, в окрестности точки $$a=4$$

$$f(x)=x^2-3x.$$

Тогда

$$f(4)=4^2-3\cdot4=16-12=4,$$

$$f'(x)=2x-3,\qquad f'(4)=2\cdot4-3=5.$$

Следовательно,

$$y=4+5(x-4)=4x-16.$$

в) $$f(x)=\begin{cases}4x-x^2, & x\ge 0,\\ -4x, & x<0,\end{cases}\qquad a=1.$$

Так как $$1\ge 0,$$ то используем ветвь $$f(x)=4x-x^2.$$ Тогда

$$f(1)=4\cdot1-1^2=3,$$

$$f'(x)=4-2x,\qquad f'(1)=4-2=2.$$

Следовательно,

$$y=3+2(x-1)=2x+1.$$

г) $$f(x)=x^2-7|x|+10,\qquad a=-1.$$

Так как $$-1<0,$$ то $$|x|=-x,$$ и в этой точке

$$f(x)=x^2+7x+10.$$

Тогда

$$f(-1)=(-1)^2+7\cdot(-1)+10=1-7+10=4,$$

$$f'(x)=2x+7,\qquad f'(-1)=2\cdot(-1)+7=5.$$

Следовательно,

$$y=4+5(x+1)=5x+9.$$

Ответ

а) $$y=-2x-4$$; б) $$y=4x-16$$; в) $$y=2x+1$$; г) $$y=5x+9$$.