Упр.43.20 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Найдём значение производной в указанной точке и угол наклона касательной, используя формулу $$\tg \varphi = f'(a).$$

а)

$$f(x)=\tg x+\sin \frac{x}{3}, \qquad a=3\pi.$$

Найдём производную:

$$f'(x)=(\tg x)’ + \left(\sin \frac{x}{3}\right)’=\frac{1}{\cos^2 x}+\frac{1}{3}\cos \frac{x}{3}.$$

Подставим $$x=3\pi$$:

$$f'(3\pi)=\frac{1}{\cos^2 3\pi}+\frac{1}{3}\cos \pi=\frac{1}{(-1)^2}+\frac{1}{3}\cdot(-1)=1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}.$$

Тогда

$$\tg \varphi=\frac{2}{3}, \qquad \varphi=\arctg \frac{2}{3}\approx 33{,}69^\circ.$$

б)

$$f(x)=\cos x+\ctg \frac{x}{2}, \qquad a=\frac{\pi}{3}.$$

Найдём производную:

$$f'(x)=(\cos x)’ + \left(\ctg \frac{x}{2}\right)’=-\sin x-\frac{1}{2\sin^2 \frac{x}{2}}.$$

Подставим $$x=\frac{\pi}{3}$$:

$$f’\left(\frac{\pi}{3}\right)=-\sin \frac{\pi}{3}-\frac{1}{2\sin^2 \frac{\pi}{6}}=-\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2\cdot \left(\frac{1}{2}\right)^2}=-\frac{\sqrt{3}}{2}-2.$$

Следовательно,

$$\tg \varphi=-\left(\frac{\sqrt{3}}{2}+2\right), \qquad \varphi=-\arctg \left(\frac{\sqrt{3}}{2}+2\right)\approx -70{,}77^\circ.$$

Ответ

а) $$\arctg \frac{2}{3}\approx 33{,}69^\circ$$; б) $$-\arctg \left(\frac{\sqrt{3}}{2}+2\right)\approx -70{,}77^\circ.$$