Упр.43.13 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. $$f(x)=\arcsin 2x,\ k=2$$
2. $$f(x)=x-\arccos x,\ k=2$$
3. $$f(x)=3+\operatorname{arctg}x,\ k=\frac{1}{2}$$
4. $$f(x)=\operatorname{arcctg}3x,\ k=3$$

Найдём точки графика, в которых касательная имеет заданный угловой коэффициент $$k$$, то есть решим уравнение $$f'(x)=k$$, а затем вычислим соответствующее значение функции.

1. $$f(x)=\arcsin 2x,\quad k=2.$$

   $$f'(x)=\frac{2}{\sqrt{1-4x^2}}.$$

   Решаем уравнение:

   $$\frac{2}{\sqrt{1-4x^2}}=2$$

   $$\frac{1}{\sqrt{1-4x^2}}=1$$

   $$\sqrt{1-4x^2}=1$$

   $$1-4x^2=1$$

   $$x=0.$$

   Тогда

   $$y=\arcsin(2\cdot 0)=0.$$

   Ответ: $$\left(0;0\right).$$

2. $$f(x)=x-\arccos x,\quad k=2.$$

   $$f'(x)=1+\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}.$$

   Решаем уравнение:

   $$1+\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}=2$$

   $$\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}=1$$

   $$\sqrt{1-x^2}=1$$

   $$1-x^2=1$$

   $$x=0.$$

   Тогда

   $$y=0-\arccos 0=-\frac{\pi}{2}.$$

   Ответ: $$\left(0;-\frac{\pi}{2}\right).$$

3. $$f(x)=3+\arctg x,\quad k=\frac12.$$

   $$f'(x)=\frac{1}{1+x^2}.$$

   Решаем уравнение:

   $$\frac{1}{1+x^2}=\frac12$$

   $$1+x^2=2$$

   $$x^2=1,$$

   откуда $$x=\pm 1.$$

   Находим значения функции:

   $$y_1=3+\arctg(-1)=3-\frac{\pi}{4},$$

   $$y_2=3+\arctg 1=3+\frac{\pi}{4}.$$

   Ответ: $$\left(-1;3-\frac{\pi}{4}\right),\ \left(1;3+\frac{\pi}{4}\right).$$

4. $$f(x)=\operatorname{arcctg} 3x,\quad k=3.$$

   $$f'(x)=-\frac{3}{1+9x^2}.$$

   Решаем уравнение:

   $$-\frac{3}{1+9x^2}=3$$

   $$-\frac{1}{1+9x^2}=1$$

   $$-1=1+9x^2$$

   $$9x^2=-2.$$

   Действительных решений нет.

   Ответ: таких точек не существует.