Упр.43.12 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Найдите ту точку графика функции $$y=f(x)$$, в которой угловой коэффициент касательной равен $$k$$:
   а) $$f(x)=1{,}5x^2-x+1$$, $$k=2$$;
   б) $$f(x)=x+\frac{1}{x}$$, $$k=3$$;
   в) $$f(x)=x^3-2x^2+x$$, $$k=1$$;
   г) $$f(x)=\frac{x}{2}+\frac{2}{x}$$, $$k=-3$$.

Найдём производную функции и приравняем её к заданному угловому коэффициенту касательной.

1. $$f(x)=1{,}5x^2-x+1,\quad k=2$$

   $$f'(x)=3x-1$$

   $$3x-1=2$$

   $$3x=3,\quad x=1$$

   $$y=f(1)=1{,}5\cdot 1^2-1+1=1{,}5$$

   Ответ: $$(1;\,1{,}5).$$

2. $$f(x)=x+\frac{1}{x},\quad k=3$$

   Область определения: $$x\ne 0.$$

   $$f'(x)=1-\frac{1}{x^2}$$

   $$1-\frac{1}{x^2}=3$$

   $$-\frac{1}{x^2}=2$$

   $$x^2=-\frac{1}{2}$$

   Действительных решений нет.

   Ответ: таких точек не существует.

3. $$f(x)=x^3-2x^2+x,\quad k=1$$

   $$f'(x)=3x^2-4x+1$$

   $$3x^2-4x+1=1$$

   $$3x^2-4x=0$$

   $$x(3x-4)=0$$

   $$x_1=0,\quad x_2=\frac{4}{3}$$

   $$y_1=f(0)=0$$

   $$y_2=f\!\left(\frac{4}{3}\right)=\left(\frac{4}{3}\right)^3-2\left(\frac{4}{3}\right)^2+\frac{4}{3}=\frac{64}{27}-\frac{32}{9}+\frac{4}{3}=\frac{4}{27}$$

   Ответ: $$(0;\,0),\ \left(\frac{4}{3};\,\frac{4}{27}\right).$$

4. $$f(x)=\frac{x}{2}+\frac{2}{x},\quad k=-3$$

   Область определения: $$x\ne 0.$$

   $$f'(x)=\frac{1}{2}-\frac{2}{x^2}$$

   $$\frac{1}{2}-\frac{2}{x^2}=-3$$

   $$\frac{1}{2}+3=\frac{2}{x^2}$$

   $$\frac{7}{2}=\frac{2}{x^2}$$

   $$7x^2=4$$

   $$x^2=\frac{4}{7},\quad x=\pm \frac{2\sqrt7}{7}$$

   $$y\left(\frac{2\sqrt7}{7}\right)=\frac{1}{2}\cdot \frac{2\sqrt7}{7}+\frac{2}{2\sqrt7/7}=\frac{\sqrt7}{7}+\sqrt7=\frac{8\sqrt7}{7}$$

   $$y\left(-\frac{2\sqrt7}{7}\right)=-\frac{\sqrt7}{7}-\sqrt7=-\frac{8\sqrt7}{7}$$

   Ответ: $$\left(\frac{2\sqrt7}{7};\,\frac{8\sqrt7}{7}\right),\ \left(-\frac{2\sqrt7}{7};\,-\frac{8\sqrt7}{7}\right).$$