Упр.42.26 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Решите неравенство $$g'(x)>0$$, если:
а) $$g(x)=\frac{(2x-1)^4}{(3x+2)^5}$$;
б) $$g(x)=\frac{(4-3x)^4}{(5x-4)^3}$$.

Подробный ответ

Используем правило производной частного:

$$\left(\frac{u}{v}\right)’=\frac{u’v-uv’}{v^2}.$$

а)

$$g(x)=\frac{(2x-1)^4}{(3x+2)^5}.$$
Тогда
$$g'(x)=\frac{4(2x-1)^3\cdot 2\cdot (3x+2)^5-(2x-1)^4\cdot 5(3x+2)^4\cdot 3}{(3x+2)^{10}}.$$
Вынесем общий множитель:
$$g'(x)=\frac{(2x-1)^3(3x+2)^4\bigl(8(3x+2)-15(2x-1)\bigr)}{(3x+2)^{10}}.$$
После сокращения получаем
$$g'(x)=\frac{(2x-1)^3(31-6x)}{(3x+2)^6}.$$

Так как $$(3x+2)^6>0$$ при $$x\ne -\frac23,$$ то нужно решить неравенство

$$(2x-1)^3(31-6x)>0.$$
Критические точки:
$$2x-1=0 \Rightarrow x=\frac12,\qquad 31-6x=0 \Rightarrow x=\frac{31}{6}.$$
Знак произведения положителен между этими точками, поэтому

$$\frac12<x<\frac{31}{6}.$$

б)

$$g(x)=\frac{(4-3x)^4}{(5x-4)^3}.$$
Найдём производную:
$$g'(x)=\frac{4(4-3x)^3\cdot(-3)\cdot(5x-4)^3-(4-3x)^4\cdot 3(5x-4)^2\cdot 5}{(5x-4)^6}.$$
Вынесем общий множитель:
$$g'(x)=\frac{(4-3x)^3(5x-4)^2\bigl(-12(5x-4)-15(4-3x)\bigr)}{(5x-4)^6}.$$
Упростим:
$$-12(5x-4)-15(4-3x)= -60x+48-60+45x=-15x-12.$$
Значит,
$$g'(x)=\frac{(4-3x)^3(-15x-12)}{(5x-4)^4}.$$

Так как $$(5x-4)^4>0$$ при $$x\ne \frac45,$$ решаем неравенство

$$(4-3x)^3(-15x-12)>0.$$
Это равносильно
$$(4-3x)(5x+4)<0.$$
Нули множителей:
$$4-3x=0 \Rightarrow x=\frac43,\qquad 5x+4=0 \Rightarrow x=-\frac45.$$
Произведение отрицательно вне промежутка между корнями, поэтому

$$x<-\frac45 \quad \text{или} \quad x>\frac43.$$