Упр.42.25 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Решите неравенство $$y’ < 0$$, если:
   а) $$y=\frac{(1-3x)^3}{(2-7x)^5}$$;
   б) $$y=\frac{(2x+3)^4}{(2-5x)^5}$$.

а) $$y=\frac{(1-3x)^3}{(2-7x)^5}$$

Найдём производную:

$$y’=\frac{(1-3x)^3{}'(2-7x)^5-(1-3x)^3(2-7x)^5{}’}{(2-7x)^{10}}$$

$$y’=\frac{-9(1-3x)^2(2-7x)^5+35(1-3x)^3(2-7x)^4}{(2-7x)^{10}}$$

$$y’=\frac{(1-3x)^2\bigl(-9(2-7x)+35(1-3x)\bigr)}{(2-7x)^6}$$

$$y’=\frac{(1-3x)^2(17-42x)}{(2-7x)^6}$$

Так как $$\,(2-7x)^6>0\,$$ при $$x\ne \frac27,$$ то неравенство $$y’\le 0$$ равносильно

$$(1-3x)^2(17-42x)\le 0.$$

Поскольку $$\,(1-3x)^2\ge 0,$$ получаем:

$$17-42x\le 0 \quad \text{или} \quad (1-3x)^2=0.$$

Отсюда

$$x\ge \frac{17}{42} \quad \text{или} \quad x=\frac13.$$

С учётом области определения $$x\ne \frac27$$ получаем:

$$x=\frac13 \quad \text{или} \quad x\ge \frac{17}{42}.$$

б) $$y=\frac{(2x+3)^4}{(2-5x)^5}$$

Найдём производную:

$$y’=\frac{(2x+3)^4{}'(2-5x)^5-(2x+3)^4(2-5x)^5{}’}{(2-5x)^{10}}$$

$$y’=\frac{8(2x+3)^3(2-5x)^5+25(2x+3)^4(2-5x)^4}{(2-5x)^{10}}$$

$$y’=\frac{(2x+3)^3\bigl(8(2-5x)+25(2x+3)\bigr)}{(2-5x)^6}$$

$$y’=\frac{(2x+3)^3(91+10x)}{(2-5x)^6}$$

Так как $$\,(2-5x)^6>0\,$$ при $$x\ne \frac25,$$ то неравенство $$y’\le 0$$ равносильно

$$(2x+3)^3(91+10x)\le 0.$$

Критические точки:

$$2x+3=0 \Rightarrow x=-\frac32,\qquad 91+10x=0 \Rightarrow x=-\frac{91}{10}.$$

С учётом знаков множителей получаем

$$-\frac{91}{10}\le x\le -\frac32.$$

Ответ: а) $$x=\frac13$$ или $$x\ge \frac{17}{42}$$; б) $$-\frac{91}{10}\le x\le -\frac32$$.