Упр.42.22 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

а) Найдите корни уравнения $$f'(x)=0$$, принадлежащие отрезку $$[0,2]$$, если известно, что $$f(x)=\cos^2 x+1+\sin x$$.

б) Найдите корни уравнения $$f'(x)=0$$, принадлежащие отрезку $$\left[\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}\right]$$, если известно, что $$f(x)=\sin^2 x-\cos x-1$$.

а) $$f(x)=\cos^2 x+1+\sin x.$$

Найдём производную:

$$f'(x)=(\cos^2 x)’ + (\sin x)’ = -2\sin x\cos x+\cos x=\cos x(1-2\sin x).$$

Решаем уравнение $$f'(x)=0$$ на отрезке $$[0;2]$$:

$$\cos x(1-2\sin x)=0.$$

Отсюда:

$$\cos x=0 \quad \text{или} \quad 1-2\sin x=0.$$

1) $$\cos x=0 \Rightarrow x=\frac{\pi}{2}+\pi n.$$

На отрезке $$[0;2]$$ подходит только $$x=\frac{\pi}{2}.$$

2) $$1-2\sin x=0 \Rightarrow \sin x=\frac12.$$

На отрезке $$[0;2]$$ получаем $$x=\frac{\pi}{6}.$$

Итак, корни на данном отрезке:

$$x=\frac{\pi}{2},\ \frac{\pi}{6}.$$

б) $$f(x)=\sin^2 x-\cos x-1.$$

Найдём производную:

$$f'(x)=(\sin^2 x)’-(\cos x)’-(1)’=2\sin x\cos x+\sin x=\sin x(2\cos x+1).$$

Решаем уравнение $$f'(x)=0$$ на отрезке $$\left[\frac{\pi}{2};\frac{3\pi}{2}\right]$$:

$$\sin x(2\cos x+1)=0.$$

Отсюда:

$$\sin x=0 \quad \text{или} \quad 2\cos x+1=0.$$

1) $$\sin x=0 \Rightarrow x=\pi n.$$

На отрезке $$\left[\frac{\pi}{2};\frac{3\pi}{2}\right]$$ таких корней нет.

2) $$2\cos x+1=0 \Rightarrow \cos x=-\frac12.$$

Тогда

$$x=\frac{2\pi}{3}+2\pi n \quad \text{или} \quad x=\frac{4\pi}{3}+2\pi n.$$

На данном отрезке подходят:

$$x=\frac{2\pi}{3},\ \frac{4\pi}{3}.$$

Ответ

а) $$\frac{\pi}{2},\ \frac{\pi}{6}$$; б) $$\frac{2\pi}{3},\ \frac{4\pi}{3}$$.