Упр.41.68 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

а) Докажите, что функция $$y=x\sin x$$ удовлетворяет соотношению $$y»+y=2\cos x$$; б) докажите, что при любых значениях $$a$$ и $$b$$ функция $$y=a\sin x+b\cos x$$ удовлетворяет соотношению $$y»+y=0$$.

а) Пусть $$y=x\sin x.$$ Тогда

$$y’=(x)’\sin x+x(\sin x)’=\sin x+x\cos x.$$

Найдём вторую производную:

$$y»=(\sin x)’+(x\cos x)’=\cos x+\cos x-x\sin x=2\cos x-x\sin x.$$

Теперь подставим в выражение $$y»+y$$:

$$y»+y=(2\cos x-x\sin x)+x\sin x=2\cos x.$$

Тождество доказано.

б) Пусть $$y=a\sin x+b\cos x.$$ Тогда

$$y’=a(\sin x)’+b(\cos x)’=a\cos x-b\sin x.$$

Найдём вторую производную:

$$y»=a(\cos x)’-b(\sin x)’=-a\sin x-b\cos x.$$

Проверим соотношение $$y»+y=0$$:

$$y»+y=(-a\sin x-b\cos x)+(a\sin x+b\cos x)=0.$$

Тождество доказано.

Ответ

а) $$y»+y=2\cos x$$; б) $$y»+y=0$$.