Упр.41.45 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Определите абсциссы точек, в которых касательная к графику функции $$y=h(x)$$ образует острый угол с положительным направлением оси $$x$$, если:

а) $$h(x)=x^3-3x^2+1$$;

б) $$h(x)=4\sqrt{x}-x$$;

в) $$h(x)=x^3-x^4-19$$;

г) $$h(x)=\operatorname{tg}x-4x$$.

Тангенс угла наклона касательной равен производной в точке касания. Для острого угла нужно, чтобы $$h'(x)>0.$$

а)

$$h(x)=x^3-3x^2+1$$

$$h'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)$$

Решаем неравенство:

$$3x(x-2)>0$$

$$x(x-2)>0$$

Отсюда

$$x\in(-\infty;0)\cup(2;+\infty).$$

б)

$$h(x)=4\sqrt{x}-x,\qquad x\ge 0$$

$$h'(x)=\frac{4}{2\sqrt{x}}-1=\frac{2}{\sqrt{x}}-1$$

Требуется:

$$\frac{2}{\sqrt{x}}-1>0$$

$$\frac{2}{\sqrt{x}}>1$$

Так как $$x>0,$$ получаем

$$2>\sqrt{x}$$

$$x<4.$$

С учётом области определения:

$$x\in(0;4).$$

в)

$$h(x)=x^3-x^4-19$$

$$h'(x)=3x^2-4x^3=x^2(3-4x)$$

Решаем неравенство:

$$x^2(3-4x)>0$$

Так как $$x^2>0$$ при $$x\ne 0,$$ то нужно:

$$3-4x>0,\qquad x\ne 0$$

$$x<\frac34,\qquad x\ne 0.$$

Следовательно,

$$x\in(-\infty;0)\cup\left(0;\frac34\right).$$

г)

$$h(x)=\tg x-4x$$

$$h'(x)=\frac{1}{\cos^2 x}-4$$

Требуется:

$$\frac{1}{\cos^2 x}-4>0$$

$$\frac{1}{\cos^2 x}>4$$

$$1>4\cos^2 x$$

$$\cos^2 x<\frac14$$

$$|\cos x|<\frac12.$$

Отсюда

$$\frac{\pi}{3}+\pi n<x<\frac{2\pi}{3}+\pi n,\qquad n\in\mathbb Z,$$

но нужно исключить точки, где $$\cos x=0,$$ то есть $$x\ne \frac{\pi}{2}+\pi n.$$

Итак,

$$x\in\left(\frac{\pi}{3}+\pi n;\frac{\pi}{2}+\pi n\right)\cup\left(\frac{\pi}{2}+\pi n;\frac{2\pi}{3}+\pi n\right),\qquad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

а) $$x\in(-\infty;0)\cup(2;+\infty);$$ б) $$x\in(0;4);$$ в) $$x\in(-\infty;0)\cup\left(0;\frac34\right);$$ г) $$x\in\left(\frac{\pi}{3}+\pi n;\frac{\pi}{2}+\pi n\right)\cup\left(\frac{\pi}{2}+\pi n;\frac{2\pi}{3}+\pi n\right),\ n\in\mathbb Z.$$