Упр.41.44 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Определите абсциссы точек, в которых касательная к графику функции $$y=h(x)$$ образует с положительным направлением оси абсцисс заданный угол $$\alpha$$:
   а) $$f(x)=x^2-3x+19,\ \alpha=45^\circ$$;
   б) $$f(x)=\frac{4}{x+2},\ \alpha=135^\circ$$.

Тангенс угла между касательной к графику функции и положительным направлением оси абсцисс равен производной в точке касания, то есть $$f'(x)=\tg \alpha.$$

а)

$$f(x)=x^2-3x+19,\qquad \alpha=45^\circ.$$

$$\tg 45^\circ=1.$$

Найдём производную:

$$f'(x)=2x-3.$$

Приравняем её к $$1$$:

$$2x-3=1,$$

$$2x=4,$$

$$x=2.$$

б)

$$f(x)=\frac{4}{x+2},\qquad \alpha=135^\circ.$$

$$\tg 135^\circ=-1.$$

Найдём производную:

$$f'(x)=\left(\frac{4}{x+2}\right)’=-\frac{4}{(x+2)^2}.$$

Приравняем её к $$-1$$:

$$-\frac{4}{(x+2)^2}=-1,$$

$$\frac{4}{(x+2)^2}=1,$$

$$4=(x+2)^2,$$

$$x+2=\pm 2,$$

откуда

$$x=0 \quad \text{или} \quad x=-4.$$

Ответ

а) $$x=2$$; б) $$x=0,\,-4$$.