Упр.41.19 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. а) $$y=\frac{3\sqrt{x}}{2x+9}$$; б) $$y=\frac{\sin x}{x}$$; в) $$y=\frac{-2\sqrt{x}}{8-3x}$$; г) $$y=\frac{\cos x}{x}$$.

Найдём производные данных функций по правилу производной частного.

1. $$y=\frac{3\sqrt{x}}{2x+9}$$

   Область определения: $$x>0$$.

   $$y’=\frac{(3\sqrt{x})'(2x+9)-3\sqrt{x}\,(2x+9)’}{(2x+9)^2}$$
   $$=\frac{\frac{3}{2\sqrt{x}}(2x+9)-3\sqrt{x}\cdot 2}{(2x+9)^2}$$
   $$=\frac{6x+27-12x}{2\sqrt{x}(2x+9)^2}=\frac{27-6x}{2\sqrt{x}(2x+9)^2}=\frac{3(9-2x)}{2\sqrt{x}(2x+9)^2}.$$

2. $$y=\frac{\sin x}{x}$$

   Область определения: $$x\ne 0$$.

   $$y’=\frac{(\sin x)’ \cdot x-\sin x\cdot (x)’}{x^2}$$
   $$=\frac{x\cos x-\sin x}{x^2}.$$

3. $$y=\frac{-2\sqrt{x}}{8-3x}$$

   Область определения: $$x\ge 0,\; x\ne \frac{8}{3}$$.

   $$y’=\frac{(-2\sqrt{x})'(8-3x)-(-2\sqrt{x})(8-3x)’}{(8-3x)^2}$$
   $$=\frac{-\frac{1}{\sqrt{x}}(8-3x)-(-2\sqrt{x})(-3)}{(8-3x)^2}$$
   $$=\frac{-\frac{8-3x}{\sqrt{x}}-6\sqrt{x}}{(8-3x)^2}$$
   $$=\frac{-8+3x-6x}{\sqrt{x}(8-3x)^2}=-\frac{8+3x}{\sqrt{x}(8-3x)^2}.$$

4. $$y=\frac{\cos x}{x}$$

   Область определения: $$x\ne 0$$.

   $$y’=\frac{(\cos x)’\cdot x-\cos x\cdot (x)’}{x^2}$$
   $$=\frac{-x\sin x-\cos x}{x^2}=-\frac{x\sin x+\cos x}{x^2}.$$

Ответ: $$\frac{3(9-2x)}{2\sqrt{x}(2x+9)^2},\ \frac{x\cos x-\sin x}{x^2},\ -\frac{8+3x}{\sqrt{x}(8-3x)^2},\ -\frac{x\sin x+\cos x}{x^2}.$$