Упр.40.12 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

а) $$y=|x+4|,\quad x_0=-4.$$

По определению модуля:

$$y= \begin{cases} -x-4, & x<-4,\\ x+4, & x\ge -4. \end{cases}$$

В точке $$x_0=-4$$ график имеет излом, поэтому производная не существует.

б) $$y=-3x|x|,\quad x_0=0.$$

По определению модуля:

$$y= \begin{cases} 3x^2, & x<0,\\ -3x^2, & x\ge 0. \end{cases}$$

Точка $$x_0=0$$ принадлежит функции $$y=-3x^2$$. Тогда

$$\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x} = \frac{-3(0+\Delta x)^2+3\cdot 0^2}{\Delta x} = \frac{-3(\Delta x)^2}{\Delta x} = -3\Delta x.$$

$$\lim_{\Delta x\to 0}(-3\Delta x)=0.$$

Следовательно, $$y'(0)=0$$.

в) $$y=2x|x|,\quad x_0=0.$$

По определению модуля:

$$y= \begin{cases} -2x^2, & x<0,\\ 2x^2, & x\ge 0. \end{cases}$$

Точка $$x_0=0$$ принадлежит функции $$y=2x^2$$. Тогда

$$\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x} = \frac{2(0+\Delta x)^2-2\cdot 0^2}{\Delta x} = \frac{2(\Delta x)^2}{\Delta x} = 2\Delta x.$$

$$\lim_{\Delta x\to 0}2\Delta x=0.$$

Следовательно, $$y'(0)=0$$.

г) $$y=(x-1)|x-1|,\quad x_0=1.$$

По определению модуля:

$$y= \begin{cases} -(x-1)^2, & x<1,\\ (x-1)^2, & x\ge 1. \end{cases}$$

Точка $$x_0=1$$ принадлежит функции $$y=(x-1)^2$$. Тогда

$$\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x} = \frac{(1-1+\Delta x)^2-(1-1)^2}{\Delta x} = \frac{(\Delta x)^2}{\Delta x} = \Delta x.$$

$$\lim_{\Delta x\to 0}\Delta x=0.$$

Следовательно, $$y'(1)=0$$.

Ответ: а) не существует; б) $$0$$; в) $$0$$; г) $$0$$.