Упр.4.14 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Число $$m$$ называют точной верхней границей числового множества $$X$$, если для любого числа $$x \in X$$ справедливо неравенство $$x < m$$ и для любого числа $$\varepsilon > 0$$ существует такое число $$x_{\varepsilon} \in X$$, что $$x_{\varepsilon} > m — \varepsilon$$. Найдите точную верхнюю границу множества $$X$$, если:

а) Для множества $$X=[0;1]$$ все его элементы не превосходят числа $$1$$, и число $$1$$ является верхней границей. При любом $$\varepsilon>0$$ число $$1-\varepsilon\in X$$ и $$1-\varepsilon>1-\varepsilon$$, значит, $$1$$ — точная верхняя граница.

Ответ: $$1$$.

б) Для множества $$X=[0;1)$$ все элементы удовлетворяют неравенству $$x<1$$, значит, число $$1$$ — верхняя граница. При любом $$\varepsilon>0$$ число $$1-\varepsilon<1$$, а значит, в множестве есть элементы сколь угодно близкие к $$1$$ снизу. Следовательно, точная верхняя граница равна $$1$$.

Ответ: $$1$$.

в) $$X=\left\{x\mid x=\frac{1}{n},\ n\in\mathbb{N}\right\}$$.

Так как при $$n=1$$ получаем $$x=1$$, а при увеличении $$n$$ значения $$\frac{1}{n}$$ убывают, наибольший элемент множества равен $$1$$. Значит, точная верхняя граница множества тоже равна $$1$$.

Ответ: $$1$$.

г) $$X=\left\{x\mid x=\frac{1+5n}{n},\ n\in\mathbb{N}\right\}$$.

Преобразуем общий член:

$$x=\frac{1+5n}{n}=5+\frac{1}{n}.$$

При $$n=1$$ получаем наибольшее значение:

$$x=5+1=6.$$

При увеличении $$n$$ дробь $$\frac{1}{n}$$ убывает, поэтому все остальные элементы меньше $$6$$. Следовательно, точная верхняя граница множества равна $$6$$.

Ответ: $$6$$.