Упр.4.11 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

а) Докажите, что в интервале $$(8; 9)$$ нет ни наименьшего, ни наибольшего числа; б) докажите, что среди чисел, удовлетворяющих неравенству $$x^2 < 5$$, нет ни наименьшего, ни наибольшего числа.

а) На числовой прямой между точками $$A(0)$$ и $$B(1)$$ лежит бесконечно много чисел. Если взять любое число из интервала $$\left(8;9\right),$$ то можно найти число больше него, но всё ещё меньше $$9,$$ и число меньше него, но всё ещё больше $$8.$$ Значит, в интервале $$\left(8;9\right)$$ нет ни наименьшего, ни наибольшего числа.

б) Неравенство $$x^2<5$$ равносильно

$$-\sqrt{5}<x<\sqrt{5}.$$

То есть множество всех решений — это интервал $$\left(-\sqrt{5};\sqrt{5}\right).$$ В нём также нет ни наименьшего, ни наибольшего числа: для любого решения можно указать меньшее, но всё ещё удовлетворяющее неравенству, и большее, но тоже удовлетворяющее неравенству.

Ответ

а) В интервале $$\left(8;9\right)$$ нет ни наименьшего, ни наибольшего числа.
б) Среди чисел, удовлетворяющих неравенству $$x^2<5,$$ нет ни наименьшего, ни наибольшего числа.