Упр.39.32 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. а) $$\lim \frac{\sqrt{x+6}-3}{x^2-3x}$$;

   б) $$\lim \left(\sqrt{2x+3}-\sqrt{2x-7}\right)$$;

   в) $$\lim \frac{x^2-4}{\sqrt{2x+5}-3}$$;

   г) $$\lim \left(\sqrt{5-3x}-\sqrt{-3x}\right)$$.

а) $$\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{\tg x}=\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{\sin x/\cos x}=\lim_{x\to 0}\cos x=\cos 0=1.$$

б) $$\lim_{x\to \frac{\pi}{2}}\frac{\sin 3x+\sin x}{\cos 3x+\cos x}$$

Используем формулы суммы в произведение:

$$\sin 3x+\sin x=2\sin 2x\cos x,$$

$$\cos 3x+\cos x=2\cos 2x\cos x.$$

Тогда

$$\lim_{x\to \frac{\pi}{2}}\frac{2\sin 2x\cos x}{2\cos 2x\cos x}=\lim_{x\to \frac{\pi}{2}}\tg 2x=\tg \pi=0.$$

в) $$\lim_{x\to \frac{\pi}{2}}\frac{\cos x}{\ctg x}=\lim_{x\to \frac{\pi}{2}}\frac{\cos x}{\cos x/\sin x}=\lim_{x\to \frac{\pi}{2}}\sin x=\sin \frac{\pi}{2}=1.$$

г) $$\lim_{x\to 0}\frac{\cos 5x-\cos 3x}{\sin 5x+\sin 3x}$$

Преобразуем числитель и знаменатель:

$$\cos 5x-\cos 3x=-2\sin 4x\sin x,$$

$$\sin 5x+\sin 3x=2\sin 4x\cos x.$$

Тогда

$$\lim_{x\to 0}\frac{-2\sin 4x\sin x}{2\sin 4x\cos x}=\lim_{x\to 0}(-\tg x)=0.$$

Ответ: а) $$1$$; б) $$0$$; в) $$1$$; г) $$0$$.