Упр.39.31 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. а) $$\lim \frac{\sin x}{\tg x}$$;
   б) $$\lim \frac{\sin 3x+\sin x}{\cos 3x+\cos x}$$;
   в) $$\lim \frac{\cos x}{\ctg x}$$;
   г) $$\lim \frac{\cos 5x-\cos 3x}{\sin 5x+\sin 3x}$$.

а) $$\lim_{x\to 3}\frac{\sqrt{x+6}-3}{x^2-3x}$$

Рационализуем числитель:

$$\frac{\sqrt{x+6}-3}{x^2-3x}\cdot \frac{\sqrt{x+6}+3}{\sqrt{x+6}+3} =\frac{x+6-9}{x(x-3)(\sqrt{x+6}+3)} =\frac{x-3}{x(x-3)(\sqrt{x+6}+3)}$$

$$=\frac{1}{x(\sqrt{x+6}+3)}$$

Тогда

$$\lim_{x\to 3}\frac{1}{x(\sqrt{x+6}+3)}=\frac{1}{3(\sqrt{9}+3)}=\frac{1}{3\cdot 6}=\frac{1}{18}.$$

б) $$\lim_{x\to \infty}\left(\sqrt{2x+3}-\sqrt{2x-7}\right)$$

Вынесем $$x$$ из-под корня:

$$\sqrt{2x+3}-\sqrt{2x-7} =\sqrt{x\left(2+\frac{3}{x}\right)}-\sqrt{x\left(2-\frac{7}{x}\right)}$$

При $$x\to\infty$$ получаем:

$$\lim_{x\to\infty}\left(\sqrt{2+\frac{3}{x}}-\sqrt{2-\frac{7}{x}}\right)=\sqrt{2}-\sqrt{2}=0.$$

в) $$\lim_{x\to 2}\frac{x^2-4}{\sqrt{2x+5}-3}$$

Домножим на сопряжённое:

$$\frac{x^2-4}{\sqrt{2x+5}-3}\cdot \frac{\sqrt{2x+5}+3}{\sqrt{2x+5}+3} =\frac{(x-2)(x+2)(\sqrt{2x+5}+3)}{2x+5-9}$$

$$=\frac{(x-2)(x+2)(\sqrt{2x+5}+3)}{2(x-2)}=\frac{(x+2)(\sqrt{2x+5}+3)}{2}.$$

Тогда

$$\lim_{x\to 2}\frac{(x+2)(\sqrt{2x+5}+3)}{2} =\frac{(2+2)(\sqrt{9}+3)}{2} =\frac{4\cdot 6}{2}=12.$$

г) $$\lim_{x\to -\infty}\left(\sqrt{5-3x}-\sqrt{-3x}\right)$$

Домножим на сопряжённое:

$$\sqrt{5-3x}-\sqrt{-3x} =\frac{(5-3x)-(-3x)}{\sqrt{5-3x}+\sqrt{-3x}} =\frac{5}{\sqrt{5-3x}+\sqrt{-3x}}.$$

При $$x\to -\infty$$ знаменатель стремится к бесконечности, значит

$$\lim_{x\to -\infty}\frac{5}{\sqrt{5-3x}+\sqrt{-3x}}=0.$$

Ответ

а) $$\frac{1}{18}$$; б) $$0$$; в) $$12$$; г) $$0$$.