Упр.39.26 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

а) $$\lim(2\arcsin x+3\arccos x)$$;
б) $$\lim\frac{\arccos x+\pi\sin x\pi}{\pi\cos x\pi+2\arcsin x}$$;
в) $$\lim(2\operatorname{arctg}x-\operatorname{arcctg}x)$$;
г) $$\lim\frac{2\operatorname{arctg}x+x\pi}{\cos x-\cos(-x)+\operatorname{arctg}x}$$.

Подробный ответ

а) При $$x \to 0{,}5$$ имеем:

$$2\arcsin x+3\arccos x=2\arcsin \frac12+3\arccos \frac12.$$

Так как $$\arcsin \frac12=\frac{\pi}{6}, \qquad \arccos \frac12=\frac{\pi}{3},$$ то

$$2\cdot \frac{\pi}{6}+3\cdot \frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{3}+\pi=\frac{4\pi}{3}.$$

б) При $$x \to -0{,}5$$:

$$\frac{\arccos x+\pi\sin \pi x}{\pi\cos \pi x+2\arcsin x} =\frac{\arccos\left(-\frac12\right)+\pi\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right)}{\pi\cos\left(-\frac{\pi}{2}\right)+2\arcsin\left(-\frac12\right)}.$$

Подставим значения:

$$\arccos\left(-\frac12\right)=\frac{2\pi}{3}, \qquad \sin\left(-\frac{\pi}{2}\right)=-1, \qquad \cos\left(-\frac{\pi}{2}\right)=0, \qquad \arcsin\left(-\frac12\right)=-\frac{\pi}{6}.$$

Тогда

$$\frac{\frac{2\pi}{3}-\pi}{0+2\cdot\left(-\frac{\pi}{6}\right)} =\frac{-\frac{\pi}{3}}{-\frac{\pi}{3}}=1.$$

в) При $$x \to \sqrt{3}$$:

$$2\arctg x-\operatorname{arcctg} x=2\arctg \sqrt{3}-\operatorname{arcctg}\sqrt{3}.$$

Так как $$\arctg \sqrt{3}=\frac{\pi}{3}, \qquad \operatorname{arcctg}\sqrt{3}=\frac{\pi}{6},$$ то

$$2\cdot \frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{6}=\frac{4\pi}{6}-\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{2}.$$

г) При $$x \to -1$$:

$$\frac{2\operatorname{arcctg} x+\pi x}{\cos x-\cos(-x)+\arctg x} =\frac{2\operatorname{arcctg}(-1)+\pi(-1)}{\cos(-1)-\cos(1)+\arctg(-1)}.$$

Так как $$\cos(-1)=\cos 1,$$ то знаменатель равен $$\arctg(-1)=-\frac{\pi}{4}.$$

Кроме того, $$\operatorname{arcctg}(-1)=\frac{3\pi}{4},$$ значит числитель:

$$2\cdot \frac{3\pi}{4}-\pi=\frac{3\pi}{2}-\pi=\frac{\pi}{2}.$$

Тогда