Упр.38.7 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Постройте график последовательности $$(y_n)$$ и составьте, если можно, уравнение горизонтальной асимптоты графика: а) $$y_n=\frac{2}{n}$$; б) $$y_n=\left(\frac{1}{3}\right)^n$$; в) $$y_n=\frac{4}{n}$$; г) $$y_n=\left(\frac{1}{3}\right)^{n-1}$$.

Для последовательности график строят по точкам $$\left(n;y_n\right),$$ где $$n=1,2,3,\dots$$

Ход решения

1. а) $$y_n=\frac{2}{n}$$

   Первые значения:

   $$2,\ 1,\ \frac{2}{3},\ \frac{1}{2},\ \frac{2}{5},\ \frac{1}{3},\ \frac{2}{7},\ \frac{1}{4}$$

   Так как

   $$\lim_{n\to\infty}\frac{2}{n}=0,$$

   горизонтальная асимптота: $$y=0.$$

2. б) $$y_n=\left(\frac{1}{3}\right)^n$$

   Первые значения:

   $$\frac{1}{3},\ \frac{1}{9},\ \frac{1}{27},\ \frac{1}{81},\ \frac{1}{243},\ \frac{1}{729},\ \frac{1}{2187},\ \frac{1}{6561}$$

   Так как

   $$\lim_{n\to\infty}\left(\frac{1}{3}\right)^n=0,$$

   горизонтальная асимптота: $$y=0.$$

3. в) $$y_n=\frac{4}{n}$$

   Первые значения:

   $$4,\ 2,\ \frac{4}{3},\ 1,\ \frac{4}{5},\ \frac{2}{3},\ \frac{4}{7},\ \frac{1}{2}$$

   Так как

   $$\lim_{n\to\infty}\frac{4}{n}=0,$$

   горизонтальная асимптота: $$y=0.$$

4. г) $$y_n=\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}$$

   Первые значения:

   $$1,\ \frac{1}{2},\ \frac{1}{4},\ \frac{1}{8},\ \frac{1}{16},\ \frac{1}{32},\ \frac{1}{64},\ \frac{1}{128}$$

   Так как

   $$\lim_{n\to\infty}\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}=0,$$

   горизонтальная асимптота: $$y=0.$$

Ответ

Во всех пунктах график последовательности состоит из отдельных точек, а горизонтальная асимптота одна и та же: $$y=0.$$