Упр.38.36 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Решите уравнение, если известно, что $$|x|<1$$:
   а) $$x+x^2+x^3+x^4+\ldots+x^n+\ldots=4$$;
   б) $$2x-4x^2+8x^3-16x^4+\ldots=\frac{3}{8}$$.

При $$|x|<1$$ данные суммы являются суммами бесконечных геометрических прогрессий.

а)

$$S=x+x^2+x^3+\dots$$

Здесь $$b_1=x$$, $$q=x$$, поэтому

$$S=\frac{b_1}{1-q}=\frac{x}{1-x}.$$

По условию:

$$\frac{x}{1-x}=4.$$

Решим уравнение:

$$x=4(1-x) \\\\ x=4-4x \\\\ 5x=4 \\\\ x=\frac45=0{,}8.$$

б)

$$S=2x-4x^2+8x^3-16x^4+\dots$$

Это геометрическая прогрессия, где $$b_1=2x$$, $$q=-2x$$. Тогда

$$S=\frac{2x}{1-(-2x)}=\frac{2x}{1+2x}.$$

По условию:

$$\frac{2x}{1+2x}=\frac38.$$

Решим уравнение:

$$16x=3(1+2x) \\\\ 16x=3+6x \\\\ 10x=3 \\\\ x=\frac3{10}=0{,}3.$$

Ответ

а) $$x=0{,}8$$; б) $$x=0{,}3$$.