Упр.38.21 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

а) $$\lim \frac{2\cdot 3^n+3\cdot 4^n}{2^n-6\cdot 4^n}$$; б) $$\lim \frac{3\cdot 5^n-7\cdot 4^n}{2^n+6\cdot 5^n}$$.

а) $$\lim_{n\to\infty}\frac{2\cdot 3^n+3\cdot 4^n}{2^n-6\cdot 4^n}$$

Разделим числитель и знаменатель на $$4^n$$:

$$\lim_{n\to\infty}\frac{2\left(\frac34\right)^n+3}{\left(\frac24\right)^n-6}$$

Так как $$\left(\frac34\right)^n\to 0$$ и $$\left(\frac24\right)^n=\left(\frac12\right)^n\to 0,$$ получаем:

$$\frac{2\cdot 0+3}{0-6}=-\frac12$$

б) $$\lim_{n\to\infty}\frac{3\cdot 5^n-7\cdot 4^n}{2^n+6\cdot 5^n}$$

Разделим числитель и знаменатель на $$5^n$$:

$$\lim_{n\to\infty}\frac{3-7\left(\frac45\right)^n}{\left(\frac25\right)^n+6}$$

Так как $$\left(\frac45\right)^n\to 0$$ и $$\left(\frac25\right)^n\to 0,$$ имеем:

$$\frac{3-7\cdot 0}{0+6}=\frac12$$

Ответ

а) $$-\frac12$$; б) $$\frac12$$.