Упр.38.12 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

а) $$x_n=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2(2)}+\ldots+\frac{1}{2(n)}$$; б) $$x_n=\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\ldots+\frac{1}{2n}$$.

а) Рассмотрим последовательность

$$x_n=1+\frac12+\frac1{2^2}+\cdots+\frac1{2^n}.$$

Каждый следующий член больше предыдущего, значит, последовательность возрастает.

Это сумма первых $$n+1$$ членов геометрической прогрессии с первым членом $$b_1=1$$ и знаменателем $$q=\frac12$$. Тогда

$$x_n=1+\frac12+\frac1{2^2}+\cdots+\frac1{2^n}= \frac{1-\left(\frac12\right)^{n+1}}{1-\frac12}=2-\left(\frac12\right)^n.$$

Так как $$\left(\frac12\right)^n>0,$$ то

$$x_n<2.$$

Следовательно, последовательность возрастает и ограничена сверху, значит, по теореме Вейерштрасса она имеет предел.

б) Рассмотрим последовательность

$$x_n=\frac1{n+1}+\frac1{n+2}+\cdots+\frac1{2n}.$$

Найдём разность соседних членов:

$$x_{n+1}-x_n= \left(\frac1{n+2}+\frac1{n+3}+\cdots+\frac1{2n+2}\right) -\left(\frac1{n+1}+\frac1{n+2}+\cdots+\frac1{2n}\right).$$

После сокращения общих слагаемых получаем

$$x_{n+1}-x_n=\frac1{2n+1}+\frac1{2n+2}-\frac1{n+1}.$$

Так как

$$\frac1{2n+1}+\frac1{2n+2}>\frac1{n+1},$$

то $$x_{n+1}-x_n>0,$$ значит, последовательность возрастает.

Кроме того,

$$x_n=\frac1{n+1}+\frac1{n+2}+\cdots+\frac1{2n}<\frac1n+\frac1n+\cdots+\frac1n=1,$$

где справа стоит $$n$$ слагаемых.

Следовательно, последовательность возрастает и ограничена сверху, значит, по теореме Вейерштрасса она имеет предел.

Ответ: в обоих случаях последовательность имеет предел.