Упр.38.10 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Верно ли утверждение: а) если последовательность имеет предел, то она монотонна; б) если последовательность монотонна, то она имеет предел; в) если последовательность ограничена, то она имеет предел; г) если последовательность не монотонна, то она не имеет предела?

Все утверждения неверны.

1. Если последовательность имеет предел, то она монотонна — неверно. Например,

   $$y_n=\frac{(-1)^n}{n}, \qquad \lim_{n\to\infty}\frac{(-1)^n}{n}=0,$$

   но эта последовательность не является монотонной.

2. Если последовательность монотонна, то она имеет предел — неверно. Например,

   $$y_n=n,$$

   это монотонная последовательность, но

   $$\lim_{n\to\infty} n$$

   не существует.

3. Если последовательность ограничена, то она имеет предел — неверно. Например,

   $$y_n=(-1)^n,$$

   эта последовательность ограничена, но предела не имеет.

4. Если последовательность не монотонна, то она не имеет предела — неверно. Например,

   $$y_n=\frac{(-1)^n}{n}, \qquad \lim_{n\to\infty}\frac{(-1)^n}{n}=0,$$

   последовательность не монотонна, но предел существует.

Ответ: а) неверно; б) неверно; в) неверно; г) неверно.