Упр.37.51 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Исследуйте на монотонность последовательность: а) $$y_n=-2n+1$$; б) $$y_n=3n^2+n-1$$; в) $$y_n=\cos\frac{1}{n}$$; г) $$y_n=\frac{n}{n^2+1}$$.

Исследуем последовательности по разности $$y_{n+1}-y_n$$.

1. $$y_n=-2n+1$$

   $$y_{n+1}=-2(n+1)+1=-2n-1$$
   $$y_{n+1}-y_n=(-2n-1)-(-2n+1)=-2<0$$ Следовательно, последовательность убывает.

2. $$y_n=3n^2+n-1$$

   $$y_{n+1}=3(n+1)^2+(n+1)-1=3n^2+7n+3$$
   $$y_{n+1}-y_n=(3n^2+7n+3)-(3n^2+n-1)=6n+4>0$$
   Следовательно, последовательность возрастает.

3. $$y_n=\cos\frac{1}{n}$$

   При $$n\ge 1$$ имеем $$\frac{1}{n}>0$$ и $$\frac{1}{n+1}<\frac{1}{n}$$. Так как на промежутке $$[0,\pi]$$ функция $$\cos x$$ убывает, то $$\cos\frac{1}{n+1}>\cos\frac{1}{n}.$$
   Значит, последовательность возрастает.

4. $$y_n=\frac{n}{n^2+1}$$

   $$y_{n+1}=\frac{n+1}{(n+1)^2+1}=\frac{n+1}{n^2+2n+2}$$
   $$y_{n+1}-y_n=\frac{n+1}{n^2+2n+2}-\frac{n}{n^2+1}$$
   $$=\frac{(n+1)(n^2+1)-n(n^2+2n+2)}{(n^2+1)(n^2+2n+2)}$$
   $$=\frac{n^3+n^2+n+1-n^3-2n^2-2n}{(n^2+1)(n^2+2n+2)}$$
   $$=\frac{-n^2-n+1}{(n^2+1)(n^2+2n+2)}<0$$ Следовательно, последовательность убывает.

Ответ: а) убывает; б) возрастает; в) возрастает; г) убывает.