Упр.36.5 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Пусть $$z=\cos(0{,}17\pi)+i\sin(0{,}17\pi)$$. Какие числа из множества $$\{z,z^2,z^3,\ldots,z^9,z^{10}\}$$: а) расположены выше оси абсцисс; б) расположены правее оси ординат; в) расположены выше биссектрисы первой и третьей координатных четвертей; г) расположены ниже биссектрисы второй и четвёртой координатных четвертей?

Пусть $$z=\cos 0{,}17\pi+i\sin 0{,}17\pi.$$ Тогда

$$z^n=\cos(0{,}17n\pi)+i\sin(0{,}17n\pi), \quad n=1,2,\dots,10.$$

Вычислим аргументы:

$$\begin{aligned} z&=\cos 0{,}17\pi+i\sin 0{,}17\pi,\\ z^2&=\cos 0{,}34\pi+i\sin 0{,}34\pi,\\ z^3&=\cos 0{,}51\pi+i\sin 0{,}51\pi,\\ z^4&=\cos 0{,}68\pi+i\sin 0{,}68\pi,\\ z^5&=\cos 0{,}85\pi+i\sin 0{,}85\pi,\\ z^6&=\cos 1{,}02\pi+i\sin 1{,}02\pi,\\ z^7&=\cos 1{,}19\pi+i\sin 1{,}19\pi,\\ z^8&=\cos 1{,}36\pi+i\sin 1{,}36\pi,\\ z^9&=\cos 1{,}53\pi+i\sin 1{,}53\pi,\\ z^{10}&=\cos 1{,}7\pi+i\sin 1{,}7\pi. \end{aligned}$$

Используем расположение аргумента:

• выше оси абсцисс — при $$0<\alpha<\pi$$;
• правее оси ординат — при $$0<\alpha<\frac{\pi}{2}$$ или $$\frac{3\pi}{2}<\alpha<2\pi$$;
• выше биссектрисы I и III четвертей — при $$\frac{\pi}{4}<\alpha<\frac{5\pi}{4}$$;
• ниже биссектрисы II и IV четвертей — при $$\frac{3\pi}{4}<\alpha<\frac{7\pi}{4}$$.

Тогда получаем:

1. выше оси абсцисс: $$z,\ z^2,\ z^3,\ z^4,\ z^5$$;
2. правее оси ординат: $$z,\ z^2,\ z^9,\ z^{10}$$;
3. выше биссектрисы I и III четвертей: $$z^2,\ z^3,\ z^4,\ z^5,\ z^6,\ z^7$$;
4. ниже биссектрисы II и IV четвертей: $$z^5,\ z^6,\ z^7,\ z^8,\ z^9,\ z^{10}$$.

Ответ

а) $$z,\ z^2,\ z^3,\ z^4,\ z^5$$;
б) $$z,\ z^2,\ z^9,\ z^{10}$$;
в) $$z^2,\ z^3,\ z^4,\ z^5,\ z^6,\ z^7$$;
г) $$z^5,\ z^6,\ z^7,\ z^8,\ z^9,\ z^{10}$$.