Упр.36.23 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Решите уравнение:
   а) $$z^6+(8-i)z^3+(1+i)^6=0$$;
   б) $$z^4+(2-4i)z^2-(1-i)^6=0$$.

а) Пусть $$u=1+i.$$ Тогда

$$|u|=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt2,\qquad \arg u=\frac{\pi}{4},$$

поэтому

$$u^6=(\sqrt2)^6\left(\cos\frac{6\pi}{4}+i\sin\frac{6\pi}{4}\right)=8\left(\cos\frac{3\pi}{2}+i\sin\frac{3\pi}{2}\right)=-8i.$$

Положим $$x=z^3.$$ Тогда получаем квадратное уравнение

$$x^2+(8-i)x+(1+i)^6=0.$$

Так как $$(1+i)^6=-8i,$$ имеем

$$x^2+(8-i)x-8i=0.$$

Дискриминант:

$$D=(8-i)^2-4\cdot 1\cdot(-8i)=64-16i+i^2+32i=63+16i.$$

Найдём корень:

$$\sqrt{63+16i}=8+i,$$

так как $$(8+i)^2=64+16i+i^2=63+16i.$$

Тогда

$$x_{1,2}=\frac{-(8-i)\pm(8+i)}{2},$$

откуда

$$x_1=-8,\qquad x_2=i.$$

1) Если $$z^3=-8,$$ то

$$z=2\left(\cos\frac{\pi+2\pi k}{3}+i\sin\frac{\pi+2\pi k}{3}\right),\qquad k=0,1,2.$$

Получаем корни:

$$z_1=1+\sqrt3\,i,\qquad z_2=-2,\qquad z_3=1-\sqrt3\,i.$$

2) Если $$z^3=i,$$ то

$$z=\cos\frac{\pi/2+2\pi k}{3}+i\sin\frac{\pi/2+2\pi k}{3},\qquad k=0,1,2.$$

Получаем корни:

$$z_4=\frac{\sqrt3}{2}+\frac12 i,\qquad z_5=-\frac{\sqrt3}{2}+\frac12 i,\qquad z_6=-i.$$

б) Пусть $$x=z^2.$$ Тогда

$$x^2+(2-4i)x-(1-i)^6=0.$$

Так как

$$(1-i)^6=8i,$$

получаем

$$x^2+(2-4i)x-8i=0.$$

Дискриминант:

$$D=(2-4i)^2+32i=-12+16i.$$

Найдём корень:

$$\sqrt{-12+16i}=2+4i,$$

так как $$(2+4i)^2=-12+16i.$$

Тогда

$$x_{1,2}=\frac{-(2-4i)\pm(2+4i)}{2},$$

откуда

$$x_1=-2,\qquad x_2=4i.$$

1) Если $$z^2=-2,$$ то

$$z=\pm i\sqrt2.$$

2) Если $$z^2=4i,$$ то

$$z=\pm\sqrt{4i}=\pm\sqrt2\,(1+i).$$

Ответ

а) $$-2,\;1\pm\sqrt3\,i,\;\frac12(\pm\sqrt3+i),\;-i.$$

б) $$\pm i\sqrt2,\;\pm\sqrt2\,(1+i).$$