Упр.36.21 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
- Произвольно отметьте на комплексной плоскости число $$z_0$$, у которого $$|z_0|=1$$ и $$\frac{\pi}{2}<\arg(z_0)<\pi$$.
а) Изобразите корень уравнения $$z^3=z_0$$, принадлежащий первой координатной четверти.
б) Изобразите корень уравнения $$z^3=z_0$$, принадлежащий четвёртой координатной четверти.
в) Изобразите множество корней уравнения $$z^3=z_0$$.
г) Объясните, почему у уравнения $$z^3=z_0$$ нет корней, расположенных в третьей четверти.
Пусть $$z_0=|z_0|(\cos \alpha+i\sin \alpha), \qquad \frac{\pi}{2}<\alpha<\pi.$$
Тогда из уравнения $$z^3=z_0$$ получаем три корня:
$$z_k=\sqrt[3]{|z_0|}\left(\cos \frac{\alpha+2\pi k}{3}+i\sin \frac{\alpha+2\pi k}{3}\right), \qquad k=0,1,2.$$
Так как $$|z_0|=1,$$ то все корни лежат на единичной окружности.
Углы аргументов корней:
$$\frac{\alpha}{3}, \qquad \frac{\alpha+2\pi}{3}, \qquad \frac{\alpha+4\pi}{3}.$$
Поскольку $$\frac{\pi}{2}<\alpha<\pi,$$ имеем:
$$\frac{\pi}{6}<\frac{\alpha}{3}<\frac{\pi}{3},$$
$$\frac{5\pi}{6}<\frac{\alpha+2\pi}{3}<\pi,$$
$$\frac{3\pi}{2}<\frac{\alpha+4\pi}{3}<\frac{5\pi}{3}.$$
- Корень, лежащий в первой четверти, имеет аргумент $$\frac{\alpha}{3}$$.
- Корень, лежащий в четвертой четверти, имеет аргумент $$\frac{\alpha+4\pi}{3}.$$
- Все три корня расположены в вершинах равностороннего треугольника на единичной окружности.
- В третьей четверти корней нет, так как ни один из аргументов корней не попадает в промежуток $$\pi<\arg z<\frac{3\pi}{2}.$$
Ответ: корни имеют аргументы $$\frac{\alpha}{3},\ \frac{\alpha+2\pi}{3},\ \frac{\alpha+4\pi}{3};$$ в первой четверти находится корень с аргументом $$\frac{\alpha}{3},$$ в четвертой — с аргументом $$\frac{\alpha+4\pi}{3},$$ в третьей четверти корней нет.
