Упр.36.17 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
- Пусть $$\left(z,z^2,z^3,\ldots,z^n,z^{n+1},\ldots\right)$$ — бесконечная геометрическая прогрессия со знаменателем $$z=\cos 0{,}1\pi-i\sin 0{,}1\pi$$.
а) Укажите наименьшее натуральное значение $$n$$, при котором $$z^n$$ принадлежит третьей координатной четверти (не на координатных осях).
б) Укажите наименьшее натуральное значение $$n$$, при котором $$z^n$$ принадлежит второй координатной четверти (не на координатных осях).
в) Сколько в этой прогрессии различных чисел?
г) Найдите сумму этих различных чисел.
Пусть $$z=\cos 0{,}1\pi-i\sin 0{,}1\pi=\cos(-0{,}1\pi)+i\sin(-0{,}1\pi).$$ Тогда
$$z^n=\cos\left(-\frac{\pi}{10}n\right)+i\sin\left(-\frac{\pi}{10}n\right).$$
а)
Чтобы число $$z^n$$ лежало в третьей четверти, его аргумент должен удовлетворять неравенству
$$\pi<-\frac{\pi}{10}n<\frac{3\pi}{2}.$$
С учётом периодичности можно записать
$$-\pi<-\frac{\pi}{10}n<-\frac{\pi}{2}.$$
Умножим на $$-\frac{10}{\pi}$$, меняя знаки неравенств:
$$10>n>5.$$
Наименьшее натуральное $$n=6$$.
б)
Чтобы число $$z^n$$ лежало во второй четверти, нужно
$$\frac{\pi}{2}<-\frac{\pi}{10}n<\pi.$$
С учётом периодичности:
$$-\frac{3\pi}{2}<-\frac{\pi}{10}n<-\pi.$$
Умножим на $$-\frac{10}{\pi}$$:
$$15>n>10.$$
Наименьшее натуральное $$n=11$$.
в)
Так как
$$z^{20}=\cos(-2\pi)+i\sin(-2\pi)=1,$$
то далее значения степеней повторяются. Следовательно, различных чисел в прогрессии ровно $$20$$.
г)
Все 20 различных чисел образуют вершины правильного 20-угольника на единичной окружности. Противоположные вершины дают пары с суммой, равной нулю, поэтому сумма всех различных чисел равна
$$0.$$
Ответ: а) $$6$$; б) $$11$$; в) $$20$$; г) $$0$$.
