Упр.36.16 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
Пусть $$\{z, z^2, z^3, \ldots, z^n, z^{n+1}, \ldots\}$$ — бесконечная геометрическая прогрессия со знаменателем $$z=\cos 0{,}03\pi+i\sin 0{,}03\pi$$.
а) Укажите наименьшее натуральное значение $$n$$, при котором $$z^n$$ принадлежит второй координатной четверти.
б) Укажите наименьшее натуральное значение $$n$$, при котором $$z^n$$ принадлежит третьей координатной четверти.
в) Укажите наименьшее натуральное значение $$n$$, при котором $$z^n=-1$$.
г) Сколько в этой прогрессии различных чисел?
Пусть $$z=\cos 0{,}03\pi+i\sin 0{,}03\pi.$$ Тогда
$$z^n=\cos(0{,}03\pi n)+i\sin(0{,}03\pi n).$$
а)
Чтобы число $$z^n$$ лежало во второй координатной четверти, нужно
$$\frac{\pi}{2}<0{,}03\pi n<\pi.$$
Отсюда
$$\frac{\pi}{2}\cdot \frac{100}{3\pi} $$\frac{50}{3} Наименьшее натуральное $$n=17.$$ Чтобы число $$z^n$$ лежало в третьей координатной четверти, нужно $$\pi<0{,}03\pi n<\frac{3\pi}{2}.$$ Тогда $$\pi\cdot \frac{100}{3\pi} $$\frac{100}{3} Наименьшее натуральное $$n=34.$$ Равенство $$z^n=-1$$ выполняется, когда $$\cos(0{,}03\pi n)=-1,\qquad \sin(0{,}03\pi n)=0.$$ Это возможно при $$0{,}03\pi n=\pi,$$ откуда $$n=\frac{\pi}{0{,}03\pi}=\frac{100}{3}.$$ Такого натурального числа нет, поэтому нужно взять следующее значение, при котором аргумент равен нечётному числу $$\pi$$: $$0{,}03\pi n=3\pi,$$ откуда $$n=100.$$ Различные значения прогрессии повторяются через полный оборот, то есть через $$N=\frac{2\pi}{0{,}03\pi}=\frac{200}{3}.$$ Так как число различных значений должно быть целым, получаем период повторения после $$200$$ членов. Следовательно, в этой прогрессии $$200$$ различных чисел. Ответ: а) $$17$$; б) $$34$$; в) $$100$$; г) $$200$$.б)
в)
г)
