Упр.35.11 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Вычислите $$\sqrt{a+bi}$$, решив уравнение $$(x+yi)^2=a+bi$$:
   а) $$\sqrt{4}$$; б) $$\sqrt{-4}$$; в) $$\sqrt{9i}$$; г) $$\sqrt{-25i}$$.

Пусть $$\sqrt{a+bi}=x+yi,$$ тогда

$$\left(x+yi\right)^2=a+bi.$$

1. $$\sqrt{4}=x+yi.$$

   Тогда

   $$\left(x+yi\right)^2=4,$$

   $$x^2-y^2+2xyi=4+0i.$$

   Получаем систему:

   $$\begin{cases} x^2-y^2=4,\\ 2xy=0. \end{cases}$$

   Так как $$2xy=0,$$ то либо $$x=0,$$ либо $$y=0.$$ При $$x=0$$ из первого уравнения получаем $$-y^2=4,$$ что невозможно. Значит, $$y=0.$$ Тогда

   $$x^2=4,\quad x=\pm 2.$$

   Следовательно, $$\sqrt{4}=\pm 2.$$

2. $$\sqrt{-4}=x+yi.$$

   Тогда

   $$\left(x+yi\right)^2=-4,$$

   $$x^2-y^2+2xyi=-4+0i.$$

   Получаем систему:

   $$\begin{cases} x^2-y^2=-4,\\ 2xy=0. \end{cases}$$

   Если $$x=0,$$ то $$-y^2=-4,$$ откуда $$y=\pm 2.$$ Значит,

   $$\sqrt{-4}=\pm 2i.$$

3. $$\sqrt{9i}=x+yi.$$

   Тогда

   $$\left(x+yi\right)^2=9i,$$

   $$x^2-y^2+2xyi=0+9i.$$

   Получаем систему:

   $$\begin{cases} x^2-y^2=0,\\ 2xy=9. \end{cases}$$

   Из первого уравнения $$x^2=y^2,$$ значит, $$x=\pm y.$$ Так как $$2xy=9>0,$$ то $$x$$ и $$y$$ одного знака, следовательно, $$x=y.$$ Тогда

   $$2x^2=9,\quad x^2=\frac{9}{2},\quad x=\pm \frac{3\sqrt2}{2}.$$

   Значит,

   $$\sqrt{9i}=\pm \frac{3\sqrt2}{2}(1+i).$$

4. $$\sqrt{-25i}=x+yi.$$

   Тогда

   $$\left(x+yi\right)^2=-25i,$$

   $$x^2-y^2+2xyi=0-25i.$$

   Получаем систему:

   $$\begin{cases} x^2-y^2=0,\\ 2xy=-25. \end{cases}$$

   Из первого уравнения $$x^2=y^2,$$ а из второго $$2xy<0,$$ значит, $$x$$ и $$y$$ разных знаков, то есть $$y=-x.$$ Тогда

   $$-2x^2=-25,\quad x^2=\frac{25}{2},\quad x=\pm \frac{5\sqrt2}{2}.$$

   Следовательно,

   $$\sqrt{-25i}=\pm \frac{5\sqrt2}{2}(1-i).$$

Ответ: а) $$\pm 2$$; б) $$\pm 2i$$; в) $$\pm \frac{3\sqrt2}{2}(1+i)$$; г) $$\pm \frac{5\sqrt2}{2}(1-i).$$