Упр.34.9 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
- Про комплексное число $$z$$ известно, что $$\operatorname{Re} z = 3$$ или $$\operatorname{Im} z = 4$$. Сколько имеется таких чисел, если, кроме того, известно, что: а) $$|z| = 3$$; б) $$|z| = 4$$; в) $$|z| = 5$$; г) $$|z| = 10$$?
Пусть $$z=x+yi$$, тогда $$|z|=\sqrt{x^2+y^2}.$$
Если $$|z|=3,$$ то $$x^2+y^2=9.$$
При $$\operatorname{Re} z=3$$ имеем $$x=3,$$ значит
$$3^2+y^2=9 \Rightarrow y=0,$$
получаем число $$z=3.$$
При $$\operatorname{Im} z=4$$ имеем $$y=4,$$ тогда
$$x^2+4^2=9 \Rightarrow x^2=-7,$$
что невозможно.
Итак, таких чисел $$1.$$
Если $$|z|=4,$$ то $$x^2+y^2=16.$$
При $$\operatorname{Re} z=3$$ имеем $$x=3,$$ значит
$$3^2+y^2=16 \Rightarrow y^2=7 \Rightarrow y=\pm\sqrt7,$$
получаем два числа: $$3+\sqrt7\,i$$ и $$3-\sqrt7\,i.$$
При $$\operatorname{Im} z=4$$ имеем $$y=4,$$ тогда
$$x^2+4^2=16 \Rightarrow x=0,$$
получаем число $$4i.$$
Итак, таких чисел $$3.$$
Если $$|z|=5,$$ то $$x^2+y^2=25.$$
При $$\operatorname{Re} z=3$$ имеем $$x=3,$$ значит
$$3^2+y^2=25 \Rightarrow y^2=16 \Rightarrow y=\pm4,$$
получаем два числа: $$3+4i$$ и $$3-4i.$$
При $$\operatorname{Im} z=4$$ имеем $$y=4,$$ тогда
$$x^2+4^2=25 \Rightarrow x^2=9 \Rightarrow x=\pm3,$$
получаем ещё два числа: $$3+4i$$ и $$-3+4i.$$
Всего различных чисел $$3.$$
Если $$|z|=10,$$ то $$x^2+y^2=100.$$
При $$\operatorname{Re} z=3$$ имеем $$x=3,$$ значит
$$3^2+y^2=100 \Rightarrow y^2=91 \Rightarrow y=\pm\sqrt{91},$$
получаем два числа: $$3+\sqrt{91}\,i$$ и $$3-\sqrt{91}\,i.$$
При $$\operatorname{Im} z=4$$ имеем $$y=4,$$ тогда
$$x^2+4^2=100 \Rightarrow x^2=84 \Rightarrow x=\pm2\sqrt{21},$$
получаем ещё два числа: $$2\sqrt{21}+4i$$ и $$-2\sqrt{21}+4i.$$
Итак, таких чисел $$4.$$
Ответ: а) $$1$$; б) $$3$$; в) $$3$$; г) $$4$$.
