Упр.34.8 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
- Про комплексное число $$z$$ известно, что $$\operatorname{Re} z=3$$ или $$\operatorname{Re} z=6$$. Сколько имеется таких чисел, если, кроме того, известно, что:
а) $$|z|=3$$;
б) $$|z|=4$$;
в) $$|z|=6$$;
г) $$|z|=10$$?
Пусть $$z=x+yi.$$ Тогда $$\operatorname{Re} z=x,$$ а условие $$|z|=r$$ даёт
$$x^2+y^2=r^2.$$
Рассмотрим оба возможных значения $$x$$: $$x=3$$ и $$x=6.$$
а) $$|z|=3$$
Если $$x=3,$$ то
$$3^2+y^2=3^2 \Rightarrow 9+y^2=9 \Rightarrow y=0.$$
Если $$x=6,$$ то
$$6^2+y^2=3^2 \Rightarrow 36+y^2=9,$$
что невозможно.
Значит, таких чисел $$1.$$
б) $$|z|=4$$
Если $$x=3,$$ то
$$3^2+y^2=4^2 \Rightarrow 9+y^2=16 \Rightarrow y^2=7 \Rightarrow y=\pm\sqrt7.$$
Если $$x=6,$$ то
$$6^2+y^2=4^2 \Rightarrow 36+y^2=16,$$
что невозможно.
Значит, таких чисел $$2.$$
в) $$|z|=6$$
Если $$x=3,$$ то
$$3^2+y^2=6^2 \Rightarrow 9+y^2=36 \Rightarrow y^2=27 \Rightarrow y=\pm 3\sqrt3.$$
Если $$x=6,$$ то
$$6^2+y^2=6^2 \Rightarrow 36+y^2=36 \Rightarrow y=0.$$
Значит, таких чисел $$3.$$
г) $$|z|=10$$
Если $$x=3,$$ то
$$3^2+y^2=10^2 \Rightarrow 9+y^2=100 \Rightarrow y^2=91 \Rightarrow y=\pm\sqrt{91}.$$
Если $$x=6,$$ то
$$6^2+y^2=10^2 \Rightarrow 36+y^2=100 \Rightarrow y^2=64 \Rightarrow y=\pm 8.$$
Значит, таких чисел $$4.$$
Ответ
а) $$1$$; б) $$2$$; в) $$3$$; г) $$4$$.
