Упр.34.4 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Для комплексных чисел $$z_1=3-i$$ и $$z_2=1+2i$$: а) найдите $$|z_1|$$ и $$|z_2|$$ и проверьте равенства $$|z_1|=|z_1|$$ и $$|z_2|=|z_2|$$.

Даны комплексные числа $$z_1=3-i,\qquad z_2=1+2i.$$

а)

Найдём модули чисел и их сопряжённых:

$$\overline{z_1}=3+i,\qquad \overline{z_2}=1-2i.$$

$$|\overline{z_1}|=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10},\qquad |z_1|=\sqrt{3^2+(-1)^2}=\sqrt{10}.$$

$$|\overline{z_2}|=\sqrt{1^2+(-2)^2}=\sqrt{5},\qquad |z_2|=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}.$$

Следовательно, $$|\overline{z_1}|=|z_1|,\qquad |\overline{z_2}|=|z_2|.$$

б)

Проверим неравенство $$|z_1+z_2|<|z_1|+|z_2|.$$

$$z_1+z_2=(3-i)+(1+2i)=4+i,$$
$$|z_1+z_2|=\sqrt{4^2+1^2}=\sqrt{17}.$$

$$|z_1|+|z_2|=\sqrt{10}+\sqrt{5}.$$

Имеем:

$$\sqrt{17}<\sqrt{10}+\sqrt{5}.$$

Значит, неравенство верно.

в)

Вычислим произведение и проверим равенство $$|\overline{z_1z_2}|=|z_1|\cdot|z_2|.$$

$$z_1z_2=(3-i)(1+2i)=3+6i-i-2i^2=5+5i,$$
$$\overline{z_1z_2}=5-5i.$$

$$|\overline{z_1z_2}|=\sqrt{5^2+(-5)^2}=\sqrt{50}=5\sqrt{2}.$$

$$|z_1|\cdot|z_2|=\sqrt{10}\cdot\sqrt{5}=\sqrt{50}=5\sqrt{2}.$$

Следовательно, равенство верно.

г)

Проверим неравенство $$|z_1-z_2|>|z_1|-|z_2|.$$

$$z_1-z_2=(3-i)-(1+2i)=2-3i,$$
$$|z_1-z_2|=\sqrt{2^2+(-3)^2}=\sqrt{13}.$$

$$|z_1|-|z_2|=\sqrt{10}-\sqrt{5}.$$

Получаем:

$$\sqrt{13}>\sqrt{10}-\sqrt{5}.$$

Значит, неравенство верно.

Ответ

$$|z_1|=\sqrt{10},\qquad |z_2|=\sqrt{5};$$
$$|z_1+z_2|=\sqrt{17}<\sqrt{10}+\sqrt{5};$$ $$|\overline{z_1z_2}|=|z_1|\cdot|z_2|=5\sqrt{2};$$ $$|z_1-z_2|=\sqrt{13}>\sqrt{10}-\sqrt{5}.$$