Упр.34.3 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Для комплексных чисел $$z_1=12-5i$$ и $$z_2=3+4i$$:
   
   а) найдите $$|z_1|$$ и $$|z_2|$$;
   
   б) вычислите $$z_1z_2$$ и проверьте равенство $$|z_1z_2|=|z_1|\cdot|z_2|$$;
   
   в) вычислите $$\frac{1}{z_1}$$ и проверьте равенство $$\left|\frac{1}{z_1}\right|=\frac{1}{|z_1|}$$;
   
   г) вычислите $$\frac{z_1}{z_2}$$ и проверьте равенство $$\left|\frac{z_1}{z_2}\right|=\frac{|z_1|}{|z_2|}$$.

Даны комплексные числа $$z_1=12-5i$$ и $$z_2=3+4i$$.

1. Найдём модули:

   $$|z_1|=\sqrt{12^2+(-5)^2}=\sqrt{144+25}=\sqrt{169}=13,$$

   $$|z_2|=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5.$$

2. Вычислим произведение и проверим равенство:

   $$z_1z_2=(12-5i)(3+4i)=36+48i-15i-20i^2=56+33i.$$

   $$|z_1z_2|=\sqrt{56^2+33^2}=\sqrt{3136+1089}=\sqrt{4225}=65,$$

   $$|z_1|\cdot|z_2|=13\cdot 5=65.$$

3. Вычислим обратное число:

   $$\frac{1}{z_1}=\frac{1}{12-5i}=\frac{12+5i}{(12-5i)(12+5i)}=\frac{12+5i}{144+25}=\frac{12+5i}{169}.$$

   Тогда

   $$\left|\frac{1}{z_1}\right|=\sqrt{\left(\frac{12}{169}\right)^2+\left(\frac{5}{169}\right)^2}=\sqrt{\frac{144+25}{169^2}}=\sqrt{\frac{169}{169^2}}=\frac{1}{13}.$$

   И действительно, $$\frac{1}{|z_1|}=\frac{1}{13}.$$

4. Вычислим частное и проверим равенство:

   $$\frac{z_1}{z_2}=\frac{12-5i}{3+4i}=\frac{(12-5i)(3-4i)}{(3+4i)(3-4i)}=\frac{36-48i-15i+20i^2}{9+16}=\frac{16-63i}{25}.$$

   Найдём модуль:

   $$\left|\frac{z_1}{z_2}\right|=\sqrt{\left(\frac{16}{25}\right)^2+\left(\frac{63}{25}\right)^2}=\sqrt{\frac{256+3969}{25^2}}=\sqrt{\frac{4225}{25^2}}=\frac{65}{25}=\frac{13}{5}.$$

   С другой стороны,

   $$\frac{|z_1|}{|z_2|}=\frac{13}{5}.$$

Ответ: $$|z_1|=13,\quad |z_2|=5,\quad z_1z_2=56+33i,\quad \frac{1}{z_1}=\frac{12+5i}{169},\quad \frac{z_1}{z_2}=\frac{16-63i}{25}.$$