Упр.34.23 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Запишем каждое число в виде $$z=r(\cos \varphi+i\sin \varphi).$$

1. $$z=\sqrt{3}+i.$$

   $$|z|=\sqrt{(\sqrt{3})^2+1^2}=\sqrt{3+1}=2,$$

   $$\cos \varphi=\frac{\sqrt{3}}{2}, \qquad \sin \varphi=\frac{1}{2},$$

   откуда $$\varphi=\frac{\pi}{6}.$$

   Следовательно,

   $$z=2\left(\cos \frac{\pi}{6}+i\sin \frac{\pi}{6}\right).$$

2. $$z=-\sqrt{3}+i.$$

   $$|z|=\sqrt{(\sqrt{3})^2+1^2}=2,$$

   $$\cos \varphi=-\frac{\sqrt{3}}{2}, \qquad \sin \varphi=\frac{1}{2},$$

   значит, $$\varphi=\frac{5\pi}{6}.$$

   Тогда

   $$z=2\left(\cos \frac{5\pi}{6}+i\sin \frac{5\pi}{6}\right).$$

3. $$z=3\sqrt{3}-3i.$$

   $$|z|=\sqrt{(3\sqrt{3})^2+(-3)^2}=\sqrt{27+9}=\sqrt{36}=6,$$

   $$\cos \varphi=\frac{\sqrt{3}}{2}, \qquad \sin \varphi=-\frac{1}{2},$$

   поэтому $$\varphi=-\frac{\pi}{6}.$$

   Следовательно,

   $$z=6\left(\cos \left(-\frac{\pi}{6}\right)+i\sin \left(-\frac{\pi}{6}\right)\right).$$

4. $$z=-2\sqrt{3}-2i.$$

   $$|z|=\sqrt{(-2\sqrt{3})^2+(-2)^2}=\sqrt{12+4}=\sqrt{16}=4,$$

   $$\cos \varphi=-\frac{\sqrt{3}}{2}, \qquad \sin \varphi=-\frac{1}{2},$$

   значит, $$\varphi=-\frac{5\pi}{6}.$$

   Тогда

   $$z=4\left(\cos \left(-\frac{5\pi}{6}\right)+i\sin \left(-\frac{5\pi}{6}\right)\right).$$

Ответ:

$$\sqrt{3}+i=2\left(\cos \frac{\pi}{6}+i\sin \frac{\pi}{6}\right),$$
$$-\sqrt{3}+i=2\left(\cos \frac{5\pi}{6}+i\sin \frac{5\pi}{6}\right),$$
$$3\sqrt{3}-3i=6\left(\cos \left(-\frac{\pi}{6}\right)+i\sin \left(-\frac{\pi}{6}\right)\right),$$
$$-2\sqrt{3}-2i=4\left(\cos \left(-\frac{5\pi}{6}\right)+i\sin \left(-\frac{5\pi}{6}\right)\right).$$