Упр.34.21 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Запишите комплексное число в стандартной тригонометрической форме: а) $$5$$; б) $$3i$$; в) $$-8$$; г) $$-0{,}5i$$.

a) $$z=5=5(1+0i)$$

$$|z|=5,\quad \cos\varphi=1,\quad \sin\varphi=0,\quad \varphi=0.$$

Следовательно,

$$z=5(\cos 0+i\sin 0).$$

б) $$z=3i=3(0+i)$$

$$|z|=3,\quad \cos\varphi=0,\quad \sin\varphi=1,\quad \varphi=\frac{\pi}{2}.$$

Следовательно,

$$z=3\left(\cos\frac{\pi}{2}+i\sin\frac{\pi}{2}\right).$$

в) $$z=-8=8(-1+0i)$$

$$|z|=8,\quad \cos\varphi=-1,\quad \sin\varphi=0,\quad \varphi=\pi.$$

Следовательно,

$$z=8(\cos\pi+i\sin\pi).$$

г) $$z=-0{,}5i=\frac12(0-i)$$

$$|z|=\frac12,\quad \cos\varphi=0,\quad \sin\varphi=-1,\quad \varphi=-\frac{\pi}{2}.$$

Следовательно,

$$z=\frac12\left(\cos\left(-\frac{\pi}{2}\right)+i\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right)\right).$$

Ответ

$$z=5(\cos 0+i\sin 0),\quad z=3\left(\cos\frac{\pi}{2}+i\sin\frac{\pi}{2}\right),\quad z=8(\cos\pi+i\sin\pi),\quad z=\frac12\left(\cos\left(-\frac{\pi}{2}\right)+i\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right)\right).$$