Упр.34.13 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. а) $$z=\cos(13{,}2\pi)+i\sin(13{,}2\pi)$$;
2. б) $$z=\cos(-12{,}3\pi)+i\sin(-12{,}3\pi)$$;
3. в) $$z=\cos\left(17\arccos(-1)\right)+i\sin\left(17\arccos(-1)\right)$$;
4. г) $$z=\cos\left(2\arccos(-0{,}5)\right)+i\sin\left(2\arccos(-0{,}5)\right)$$.

Во всех случаях модуль числа равен $$1$$, так как $$\sin^2 t+\cos^2 t=1.$$

1. $$z=\cos(13{,}2\pi)+i\sin(13{,}2\pi).$$

   С учётом периодичности тригонометрических функций:

   $$13{,}2\pi-14\pi=-0{,}8\pi.$$

   Значит,

   $$z=\cos(-0{,}8\pi)+i\sin(-0{,}8\pi).$$

2. $$z=\cos(-12{,}3\pi)+i\sin(-12{,}3\pi).$$

   Приведём аргумент к промежутку длиной $$2\pi$$:

   $$-12{,}3\pi+12\pi=-0{,}3\pi.$$

   Следовательно,

   $$z=\cos(-0{,}3\pi)+i\sin(-0{,}3\pi).$$

3. $$z=\cos\bigl(17\arccos(-1)\bigr)+i\sin\bigl(17\arccos(-1)\bigr).$$

   Так как $$\arccos(-1)=\pi,$$ получаем:

   $$17\arccos(-1)=17\pi.$$

   Тогда

   $$17\pi-16\pi=\pi,$$

   и значит

   $$z=\cos\pi+i\sin\pi.$$

4. $$z=\cos\bigl(2\arccos(-0{,}5)\bigr)+i\sin\bigl(2\arccos(-0{,}5)\bigr).$$

   Так как $$\arccos(-0{,}5)=\arccos\left(-\frac12\right)=\frac{2\pi}{3},$$ то

   $$2\arccos(-0{,}5)=\frac{4\pi}{3}.$$

   Приведём аргумент к удобному виду:

   $$\frac{4\pi}{3}-2\pi=-\frac{2\pi}{3}.$$

   Следовательно,

   $$z=\cos\left(-\frac{2\pi}{3}\right)+i\sin\left(-\frac{2\pi}{3}\right).$$

Ответ:

а) $$z=\cos(-0{,}8\pi)+i\sin(-0{,}8\pi);$$
б) $$z=\cos(-0{,}3\pi)+i\sin(-0{,}3\pi);$$
в) $$z=\cos\pi+i\sin\pi;$$
г) $$z=\cos\left(-\frac{2\pi}{3}\right)+i\sin\left(-\frac{2\pi}{3}\right).$$