Упр.34.10 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Изобразите на комплексной плоскости множество всех чисел $$z$$, удовлетворяющих уравнению:
   а) $$|z|=|z-1|$$;
   б) $$|z-1|=|z-3|$$;
   в) $$|z-l|=|z-i|$$;
   г) $$|z+3i|=|z+4|$$.

Пусть $$z=x+yi.$$ Тогда модуль числа $$z$$ — это расстояние от точки $$M(x,y)$$ до соответствующей точки на комплексной плоскости.

1. $$|z|=|z-1|$$

   $$\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{(x-1)^2+y^2}$$

   $$x^2+y^2=(x-1)^2+y^2$$

   $$x^2=x^2-2x+1$$

   $$2x=1$$

   $$x=\frac12.$$

   Это прямая $$x=\frac12.$$

2. $$|z-1|=|z-3|$$

   $$\sqrt{(x-1)^2+y^2}=\sqrt{(x-3)^2+y^2}$$

   $$(x-1)^2+y^2=(x-3)^2+y^2$$

   $$x^2-2x+1=x^2-6x+9$$

   $$4x=8$$

   $$x=2.$$

   Это прямая $$x=2.$$

3. $$|z-1|=|z-i|$$

   $$\sqrt{(x-1)^2+y^2}=\sqrt{x^2+(y-1)^2}$$

   $$(x-1)^2+y^2=x^2+(y-1)^2$$

   $$x^2-2x+1+y^2=x^2+y^2-2y+1$$

   $$-2x=-2y$$

   $$y=x.$$

   Это прямая $$y=x.$$

4. $$|z+3i|=|z+4|$$

   $$\sqrt{x^2+(y+3)^2}=\sqrt{(x+4)^2+y^2}$$

   $$x^2+(y+3)^2=(x+4)^2+y^2$$

   $$x^2+y^2+6y+9=x^2+8x+16+y^2$$

   $$6y=8x+7$$

   $$y=\frac43x+\frac76.$$

   Это прямая $$y=\frac43x+\frac76.$$

Ответ: а) $$x=\frac12$$; б) $$x=2$$; в) $$y=x$$; г) $$y=\frac43x+\frac76$$.