Упр.33.18 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. а) Для $$n=1,2,3,4,5,6$$ изобразите на координатной плоскости точки $$z_n=(n-1)+(n^2-5n+6)i$$.
   б) Докажите, что эти точки лежат на одной параболе; составьте уравнение параболы.
   в) Найдите действительную часть суммы $$z_1+z_2+\ldots+z_6$$.
   г) Укажите номер $$n$$, начиная с которого мнимая часть числа $$z_n$$ будет больше $$100$$.

Пусть

$$z_n=(n-1)+(n^2-5n+6)i.$$

1. Для $$n=1,2,3,4,5,6$$ получаем:

   $$z_1=0+2i,\quad z_2=1+0i,\quad z_3=2+0i,\quad z_4=3+2i,\quad z_5=4+6i,\quad z_6=5+12i.$$

   Значит, на координатной плоскости это точки:

   $$(0,2),\ (1,0),\ (2,0),\ (3,2),\ (4,6),\ (5,12).$$

2. Обозначим

   $$x=n-1,\qquad y=n^2-5n+6.$$

   Тогда $$n=x+1$$, и

   $$y=(x+1)^2-5(x+1)+6=x^2-3x+2.$$

   Следовательно, все точки лежат на параболе

   $$y=x^2-3x+2.$$

3. Действительная часть суммы равна

   $$\operatorname{Re}(z_1+z_2+\cdots+z_6)=(1-1)+(2-1)+\cdots+(6-1).$$

   То есть

   $$0+1+2+3+4+5=15.$$

4. Нужно, чтобы мнимая часть была больше $$100$$:

   $$n^2-5n+6>100,$$

   $$n^2-5n-94>0.$$

   Найдём корни уравнения

   $$n^2-5n-94=0.$$

   $$D=25+376=401,$$

   $$n_{1,2}=\frac{5\pm\sqrt{401}}{2}.$$

   Так как $$\frac{5-\sqrt{401}}{2}<0$$, то при натуральных $$n$$ неравенство выполняется при

   $$n>\frac{5+\sqrt{401}}{2}\approx 12{,}5.$$

   Наименьшее натуральное $$n$$ — $$13$$.

Ответ: а) $$z_1=2i,\ z_2=1,\ z_3=2,\ z_4=3+2i,\ z_5=4+6i,\ z_6=5+12i$$; б) $$y=x^2-3x+2$$; в) $$15$$; г) $$13$$.