Упр.33.16 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Пусть $$z_1=-3+i,\quad z_2=5+2i.$$

а)

Изобразим числа $$z_1$$ и $$z_2$$ на координатной плоскости как точки с координатами $$(-3;1)$$ и $$(5;2).$$

б)

Найдём, при каком $$a$$ число $$az_1+z_2$$ является чисто мнимым:

$$az_1+z_2=a(-3+i)+(5+2i)=(-3a+5)+(a+2)i.$$

Чтобы число было чисто мнимым, его действительная часть должна быть равна нулю:

$$-3a+5=0,$$

откуда

$$3a=5,\quad a=\frac{5}{3}.$$

Тогда

$$az_1=\frac{5}{3}(-3+i)=-5+\frac{5}{3}i,$$

и

$$az_1+z_2=\left(-5+\frac{5}{3}i\right)+(5+2i)=\frac{11}{3}i.$$

в)

При $$a=\frac{5}{3}$$ сумма $$az_1+z_2$$ равна

$$\frac{11}{3}i,$$

то есть это точка $$\left(0;\frac{11}{3}\right).$$

г)

Найдём, при каком $$a$$ число $$az_1+z_2$$ является действительным:

$$az_1+z_2=(-3a+5)+(a+2)i.$$

Для действительного числа мнимая часть должна быть равна нулю:

$$a+2=0,$$

откуда

$$a=-2.$$

Тогда

$$az_1=-2(-3+i)=6-2i,$$

и

$$az_1+z_2=(6-2i)+(5+2i)=11.$$

Ответ: $$a=\frac{5}{3}$$; $$az_1+z_2=\frac{11}{3}i$$; $$a=-2$$; $$az_1+z_2=11.$$