Упр.33.12 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. а) $$\operatorname{Re} z+\operatorname{Im} z\ge 0$$;
   б) $$1<\operatorname{Re} z+\operatorname{Im} z<2$$;
   в) $$1<(\operatorname{Re} z)^2+(\operatorname{Im} z)^2<16$$;
   г) $$(\operatorname{Re} z)^2+(\operatorname{Im} z)^2<1$$ или $$16<(\operatorname{Re} z)^2+(\operatorname{Im} z)^2$$.

Пусть $$z=x+iy,$$ где $$x=\operatorname{Re} z,\quad y=\operatorname{Im} z.$$ Тогда каждое условие перепишем через $$x$$ и $$y$$.

1. $$\operatorname{Re} z+\operatorname{Im} z\ge 0$$

   Получаем неравенство

   $$x+y\ge 0,$$

   то есть

   $$y\ge -x.$$

   Это полуплоскость, ограниченная прямой $$y=-x,$$ причём сама прямая входит в множество.

2. $$1<\operatorname{Re} z+\operatorname{Im} z<2$$

   Имеем

   $$1<x+y<2,$$

   или систему

   $$x+y>1,\qquad x+y<2.$$

   Значит, искомое множество — полоса между прямыми $$y=1-x$$ и $$y=2-x,$$ без самих прямых.

3. $$1<(\operatorname{Re} z)^2+(\operatorname{Im} z)^2<16$$

   Тогда

   $$1<x^2+y^2<16.$$

   Это кольцо между окружностями

   $$x^2+y^2=1 \quad \text{и} \quad x^2+y^2=16,$$

   причём обе границы не входят.

4. $$(\operatorname{Re} z)^2+(\operatorname{Im} z)^2<1 \quad \text{или} \quad 16<(\operatorname{Re} z)^2+(\operatorname{Im} z)^2$$

   То есть

   $$x^2+y^2<1 \quad \text{или} \quad x^2+y^2>16.$$

   Это объединение внутренности круга радиуса $$1$$ и внешности круга радиуса $$4,$$ без самих окружностей.

Ответ: а) $$y\ge -x$$; б) $$1<x+y<2$$; в) $$1<x^2+y^2<16$$; г) $$x^2+y^2<1$$ или $$x^2+y^2>16$$.