Упр.32.36 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Решите систему уравнений:
   а) $$\begin{cases}5z_1-3z_2=-9+5i,\\4z_1+z_2=3-4i;\end{cases}$$
   б) $$\begin{cases}7z_1-2z_2=7-4i,\\3z_1+z_2=3-2i;\end{cases}$$
   в) $$\begin{cases}4z_1+z_2=7-6i,\\3z_1-2z_2=-3-i;\end{cases}$$
   г) $$\begin{cases}iz_1+2z_2=3+8i,\\2iz_1-z_2=7i.\end{cases}$$

Пусть $$z_1=a+bi,$$ $$z_2=c+di,$$ где $$a,b,c,d\in \mathbb{R}.$$ Тогда в каждом пункте приравниваем действительные и мнимые части.

а)

Из системы

$$\begin{cases} 5z_1-3z_2=-9+5i,\\ 4z_1+z_2=3-4i \end{cases}$$

получаем

$$\begin{cases} 5a-3c=-9,\\ 5b+3d=5,\\ 4a+c=3,\\ 4b-d=-4. \end{cases}$$

Решая пары уравнений, находим:

$$a=0,\quad c=3,\quad b=1,\quad d=0.$$

Значит, $$z_1=i,$$ $$z_2=3.$$

б)

Из системы

$$\begin{cases} 7z_1-2z_2=7-4i,\\ 3z_1+z_2=3-2i \end{cases}$$

получаем

$$\begin{cases} 7a-2c=7,\\ 7b-2d=-4,\\ 3a-c=3,\\ 3b+d=2. \end{cases}$$

Отсюда

$$a=1,\quad c=0,\quad b=0,\quad d=2.$$

Следовательно, $$z_1=1,$$ $$z_2=2i.$$

в)

Из системы

$$\begin{cases} 4z_1+z_2=7-6i,\\ 3z_1-2z_2=-3-i \end{cases}$$

получаем

$$\begin{cases} 4a+c=7,\\ 4b+d=6,\\ 3a-2c=-3,\\ 3b-2d=-1. \end{cases}$$

Решая, имеем

$$a=1,\quad c=3,\quad b=1,\quad d=2.$$

Значит, $$z_1=1+i,$$ $$z_2=3+2i.$$

г)

Из системы

$$\begin{cases} iz_1+2z_2=3+8i,\\ 2iz_1-z_2=7i \end{cases}$$

получаем

$$\begin{cases} -b+2c=3,\\ a+2d=8,\\ -2b-c=0,\\ 2a+d=7. \end{cases}$$

Отсюда

$$c=2,\quad b=-1,\quad d=3,\quad a=2.$$

Следовательно, $$z_1=2-i,$$ $$z_2=2+3i.$$

Ответ

а) $$z_1=i,\ z_2=3$$; б) $$z_1=1,\ z_2=2i$$; в) $$z_1=1+i,\ z_2=3+2i$$; г) $$z_1=2-i,\ z_2=2+3i$$.