Упр.32.16 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Известно, что число $$az_1+z_2$$, $$a\in\mathbb{R}$$, является чисто мнимым. Найдите $$a$$, если: а) $$z_1=3+i$$, $$z_2=6-i$$; б) $$z_1=12-13i$$, $$z_2=3i$$; в) $$z_1=8+3i$$, $$z_2=-1-2i$$; г) $$z_1=i$$, $$z_2=-1+2i$$.

Число $$az_1+z_2$$ будет чисто мнимым тогда и только тогда, когда его действительная часть равна нулю.

1. $$z_1=3+i,\quad z_2=6-i$$

   $$az_1+z_2=a(3+i)+6-i=(3a+6)+(a-1)i$$

   Требуем:

   $$3a+6=0$$

   $$a=-2$$

2. $$z_1=12-13i,\quad z_2=3i$$

   $$az_1+z_2=a(12-13i)+3i=12a+(3-13a)i$$

   Требуем:

   $$12a=0$$

   $$a=0$$

3. $$z_1=8+3i,\quad z_2=-1-2i$$

   $$az_1+z_2=a(8+3i)-1-2i=(8a-1)+(3a-2)i$$

   Требуем:

   $$8a-1=0$$

   $$a=\frac{1}{8}$$

4. $$z_1=i,\quad z_2=-1+2i$$

   $$az_1+z_2=ai-1+2i=-1+(a+2)i$$

   Действительная часть равна $$-1$$ и не может быть равна нулю, значит такого $$a$$ не существует.

Ответ: а) $$-2$$; б) $$0$$; в) $$\frac{1}{8}$$; г) не существует.