Упр.32.13 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Докажите, что:

1. $$z_1+z_2=z_2+z_1$$, $$z_1\in\mathbb{C}$$, $$z_2\in\mathbb{C}$$;
2. $$(a+b)z=az+bz$$, $$a\in\mathbb{R}$$, $$b\in\mathbb{R}$$, $$z\in\mathbb{C}$$;
3. $$(ab)z=a(bz)$$, $$a\in\mathbb{R}$$, $$b\in\mathbb{R}$$, $$z\in\mathbb{C}$$;
4. $$a(z_1+z_2)=az_1+az_2$$, $$a\in\mathbb{R}$$, $$z_1\in\mathbb{C}$$, $$z_2\in\mathbb{C}$$.

Пусть $$z_1=a+bi,\quad z_2=c+di,\quad z=c+di,\quad a,b,c,d\in \mathbb{R}.$$

1. Докажем, что $$z_1+z_2=z_2+z_1.$$

   $$z_1+z_2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i,$$
   $$z_2+z_1=(c+di)+(a+bi)=(c+a)+(d+b)i=(a+c)+(b+d)i.$$
   Следовательно, $$z_1+z_2=z_2+z_1.$$

2. Докажем, что $$\left(a+b\right)z=az+bz,\quad a,b\in \mathbb{R},\ z\in \mathbb{C}.$$

   Пусть $$z=c+di.$$ Тогда
   $$(a+b)z=(a+b)(c+di)=(a+b)c+(a+b)di=(ac+bc)+(ad+bd)i,$$
   а также
   $$az+bz=a(c+di)+b(c+di)=ac+adi+bc+bdi=(ac+bc)+(ad+bd)i.$$
   Значит, $$\left(a+b\right)z=az+bz.$$

3. Докажем, что $$\left(ab\right)z=a(bz),\quad a,b\in \mathbb{R},\ z\in \mathbb{C}.$$

   Пусть $$z=c+di.$$ Тогда
   $$(ab)z=ab(c+di)=abc+abdi,$$
   а
   $$a(bz)=a\bigl(b(c+di)\bigr)=a(bc+bdi)=abc+abdi.$$
   Следовательно, $$\left(ab\right)z=a(bz).$$

4. Докажем, что $$a(z_1+z_2)=az_1+az_2,\quad a\in \mathbb{R},\ z_1,z_2\in \mathbb{C}.$$

   Пусть $$z_1=b+ci,\quad z_2=d+ei.$$ Тогда
   $$a(z_1+z_2)=a\bigl((b+ci)+(d+ei)\bigr)=a\bigl((b+d)+(c+e)i\bigr)$$
   $$=(ab+ad)+(ac+ae)i,$$
   а
   $$az_1+az_2=a(b+ci)+a(d+ei)=ab+aci+ad+aei=(ab+ad)+(ac+ae)i.$$
   Значит, $$a(z_1+z_2)=az_1+az_2.$$